合成関数および制限された入力に対する連鎖の法則
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| composite derivative/ˈkɒmpəzɪt dɪˈrɪvətɪv/ | 複合関数の導関数 |
センサーは複数の数式を通じて変化する入力を変換する。変化率におけるすべてのリンクをどうやって維持すればよいか？
- センサーは複数の数式を通じて変化する入力を変換する。変化率におけるすべてのリンクをどうやって維持すればよいか？
- このレッスンでは合成関数の導関数を学ぶ：内側の出力で評価された外側の導関数に、その内側入力の導関数を掛けたもの。
数学的構造を選択せよ
- y=f(u) および u=g(x) のとき、dy/dx = f′(g(x))g′(x)。外側の導関数を実際の内側式で評価せよ。何重にも重なった関数の場合、すべての内側の変化率の因数を掛け合わせる。定義域の制限は各段階から来ます；微分した式は禁止された元の入力を復元することができない。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
z=e^(x²) のとき、指数関数の導関数がゼロにならないのに、なぜ z′(0)=0 なのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
z′=e^(x²)·2x。外側の因子 e^(x²) は常に正だが、内側の速度 2x は 0 でゼロになるため、積はゼロとなる。これは法則の破綻ではなく、曲線上の平坦な点である。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
y=(3x−1)^4 のとき、u=3x−1 とおくと: y′=4u³×3=12(3x−1)³ となり、y′(0)=−12 となる。z=e^(x²) のとき、z′=e^(x²)×2x であり、z′(0)=0 となる（ただし外側の指数関数の導関数がゼロになることはない）。w=ln(2x+1), x>−1/2 のとき、w′=2/(2x+1) であり、w′(1)=2/3 となる。r=sin((2x+1)²) のとき、まず u=(2x+1)² とおくと: r′=cos((2x+1)²)×2(2x+1)×2=4(2x+1)cos((2x+1)²) となる。s=√(5−x²) のとき、元の定義域は −√5≤x≤√5 だが、s′=−x/√(5−x²) は開区間でのみ有限である。
合成関数および制限された入力に対する連鎖の法則
y=f(u)、u=g(x)のとき、dy/dx = f′(g(x))g′(x)
微分の法則を選択し、すべての係数、内側の率、および入力の制限条件を保持せよ。
(3x−1)^4 について、x=0 における導関数を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
4(−1)³×3=−12.
魅力的な近道を検証せよ
- 外側のべき関数や指数関数の微分後で止めてはいけない。sin(u²)の場合、cosの引数はu²のままとする；2uに置き換えてはならない。階層化された導関数のリンクが一つ欠けると因子が失われる。内側の導関数がゼロなら全体の導関数もゼロになり得るため、確認せずに割ると有効なケースを見落とす恐れがある。平方根は端点で有限の導関数を持たずに存在することがある。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
e^(x²) の導関数は e^(x²) で、内側の変化率の因数はない。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
e^(x²) について、x=0 における導関数を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
内部の率は 2x であり、x=0 でゼロとなる。
e^(x²) の導関数は e^(x²) であり、内部の率の因子はない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
外側のべき関数または指数関数を微分した後で停止しないでください。sin(u²)の場合、コサインの引数はu²のままです。これは2uに置き換わりません。階層化された微分の一連の手順が一つ欠けると、係数が失われます。内側の微分がゼロであれば全微分もゼロになるため、確認せずに割り算を行うと有効なケースを喪失する可能性があります。平方根は端点で有限な微分を持たずに存在することもあります。
新しい状況を読み解く
- 外側から内側へ進み、各入力の変化を記録する。因数を掛けてから簡略化を行う。短い多項式の場合は、展開によって独立した代替検証ができる。対数や平方根の制限をすべて保持し、ゼロの変化率が外側の関数、内側入力のどちら、あるいは両方から来ているのかを解釈せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
ln(2x+1) について、x=1 における導関数を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
内部の率は 2 である；2/(2×1+1)=2/3。
各合成関数とその導関数を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
外側関数を内側式において微分し、それに内側の導関数を掛ける；重層された連鎖はすべてのリンクを掛け合わせる。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
内側の出力で評価された外側の導関数に、その内側入力の導関数を掛ける。関係式を選び、方法を示し、その仮定を確認し、結果を解釈せよ。