Product and quotient rules with retained exclusions
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商の法則 |
変化する面積を構成する両方の因子は変化しうる。なぜそれぞれの導関数を掛け合わせると大部分の速度を見落とすのか？
- 変化する面積を構成する両方の因子は変化しうる。なぜそれぞれの導関数を掛け合わせると大部分の速度を見落とすのか？
- このレッスンは商の法則を学ぶ：分母がゼロでないとき、2つの変化する関数の比を微分するための法則である。
数学的構造を選択せよ
- 微分可能な u, v について、(uv)′=u′v+uv′。v≠0 について、(u/v)′=(u′v−uv′)/v^²。積の法則には2つの寄与がある：一方の因子の変化と、他方が現在値を提供することである。商の法則では、分子の導関数に分母を掛け、そこから分子に分母の導関数を掛けたものを引き、すべてを v^² で割る。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For w=(x²-1)/(x-1), why is the simplified derivative w′=1 not valid at x=1?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The factor (x-1) cancels to x+1 only for x≠1. The derivative of the simplified form shares that exclusion - the hole in the graph is not repaired by algebra.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
y=x^²e^x について、y′=2xe^x+x^²e^x=e^x(x^²+2x) であり、したがって y′(1)=3e となる。z=(x^²+1)/(x−1) (x≠1) について、z′=[2x(x−1)−(x^²+1)]/(x−1)^²=(x^²−2x−1)/(x−1)^² であり、x=2 において −1 となる。多項式の除法により z=x+1+2/(x−1) となり、したがって z′=1−2/(x−1)^² となり、これは独立した検証となる。w=(x^²−1)/(x−1) (x≠1) について、約分により w=x+1 となり、w′=1 となるのはその元の定義域のみである。x=1 における欠落点は復元されず、その連続拡張は異なる関数となる。
Product and quotient rules with retained exclusions
For differentiable u,v, (uv)′=u′v+uv′
Choose the derivative rule and preserve every coefficient, inner rate and input restriction.
For x²e^x, find its derivative at x=0.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
e⁰(0²+2×0)=0.
魅力的な近道を検証せよ
- u′v′の積はuvの導関数ではない。商の分子を逆転させると符号が反転する。分母の二乗は元の極や穴を消去しない。微分前に簡略化することは有効だが、除外条件は維持されなければならない。定常な商の点は元の定義域内にも存在しなければならない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
商から因子を約分すると、除外された入力が自動的に復元されるという主張は誤りである。この主張がどの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
For the worked z, find z′(2).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(4−4−1)/(2−1)²=−1.
Cancelling a factor from a quotient automatically restores every excluded input.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Multiplying u′v′ is not the derivative of uv. Reversing the quotient numerator flips its sign. The squared denominator does not eliminate the original pole or hole. Simplifying before differentiating can help, but it must preserve exclusions. A stationary quotient point must also lie in the original domain.
新しい状況を読み解く
- u, v を命名し、代入前に u′, v′ を書き記す。展開が完了するまで、商の分子の両方の項に括弧を残す。積の導関数の因数分解は、両方の寄与をまとめた後に行う。展開形または除算形がある場合は比較し、y′=0 を評価または解く前に元の定義域に代入する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
For w=(x²−1)/(x−1), find w′(2).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Cancellation gives x+1 only for x≠1; its derivative at the allowed input 2 is 1.
Match each rule to its formula.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The quotient numerator subtracts in the order u′v-uv′; reversing it flips the sign, and the squared denominator never removes the original exclusions.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
分母がゼロでないとき、2つの変化する関数の比の微分の法則。関係式を選び、方法を示し、その仮定を確認し、結果を解釈せよ。