指数関数、対数関数および三角関数の導関数
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| inner rate/ˈɪnə reɪt/ | 内関数の変化率 |
A wave with twice the input frequency has a steeper initial slope. Which factor must appear in its derivative?
- A wave with twice the input frequency has a steeper initial slope. Which factor must appear in its derivative?
- このレッスンは内率を学ぶ：合成関数内の変化する入力の導関数である。
数学的構造を選択せよ
- 定数 k および a>0 に対して: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx, (tan kx)′=k sec^²(kx)、ただし sec u=1/cos u。三角関数の入力はラジアンである。(ln x)′=1/x (x>0)。微分した項を加え、その係数を維持せよ。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
なぜ a^(kx) を微分するには、係数 k とともに ln a も必要なのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
e^(kx) のみがその自身の k 倍に微分される。他の底の式は e を通して書き換えられ、指数 kx ln a から k ln a が下へ降りてくる。ln a を忘れると 2^x で既に失敗する。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
x>0 かつ cos(x/2)≠0 のとき、f=2e^(3x)+3^(2x)−4lnx+sin2x−2cos3x+tan(x/2) とする。すると f′=6e^(3x)+2ln3·3^(2x)−4/x+2cos2x+6sin3x+(1/2)sec^²(x/2) となる。項 −2cos3x は、その係数と導関数の符号がどちらも負であるため、正の 6sin3x を与える。g=5^(−2x) について、g′=−2ln5·5^(−2x) であり、したがって g′(0)=−2ln5 となる。h=sin2x−2cos3x+tan(x/2) について、h′(0)=2+0+1/2=5/2 となる。p=2e^(3x) について、p′(0)=6 となる。底 a=1 は定数 1 を与え、導関数はゼロとなる；k=0 も定数関数を生成する。
指数関数、対数関数および三角関数の導関数
定数 k および a>0 について: (e^(kx))′=k e^(kx), (a^(kx))′=k ln(a)a^(kx), (sin kx)′=k cos kx, (cos kx)′=−k sin kx, (tan kx)′=k sec²(kx)。ただし sec u=1/cos u。
微分の法則を選択し、すべての係数、内側の率、および入力の制限条件を保持せよ。
p=2e^(3x) について、p′(0) を求めよ。
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係数 2 と内部率 3 を保持する：6e⁰=6.
魅力的な近道を検証せよ
- 指数関数の底は一定だが指数は変化する: a^(kx) には k とともに ln a も必要である。ln x の導関数は 1/x であり、ln x/x ではない。tan は cos(kx)=0 で未定義であり、その導関数もこれらの除外点を維持する。ラジアンでの導関数公式は度変数に対して π/180 因子を必要とする。負の k は内率の符号を変化させ、消えてはならない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
a^(kx) の導関数は、すべての正の底 a に対して k a^(kx) である。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
与えられた h について、h′(0) を求めよ。
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2cos0+6sin0+(1/2)sec²0=5/2。
a^(kx) の導関数は、すべての正の底 a に対して k a^(kx) である。
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指数関数の底は一定だが、その指数は変化する: a^(kx) には ln a と k の両方が必要である。ln x の導関数は 1/x であり、ln x/x ではない。tan(kx) は cos(kx)=0 となる点では定義されず、その導関数も同様の除外点を維持する。ラジアン単位の導関数公式には、度単位の変数に対して π/180 の係数が必要である。負の k は内側の率の符号を変化させるため、消失してはいけない。
新しい状況を読み解く
- 関数の種族を特定し、その係数を保持し、外側の関数を微分して k を掛ける。一点での評価前に log および tan の定義域の除外点をリストアップする。増加・減少する指数関数や局所的な波の方向に対する符号を確認せよ。線形結合の導関数は項を掛け合わせるのではなく加算によって得られる。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
y=ln x について、x=4 における導関数を求めよ。
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正の入力 4 は 1/4 を与える。
各関数をその導関数と対応させよ。
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三角関数の入力はラジアンです。各合成項は係数と内側の比率の因子（符号を含む）を保持します。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
合成関数内の変化する入力の導関数である。関係性を選び、方法を示し、仮定を確認して結果を解釈せよ。