第一原理による正弦と余弦の導関数
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| radian limit/ˈreɪdɪən ˈlɪmɪt/ | ラジアン極限 |
回転する点には正弦と余弦の座標がある。微小な座標の変化から正確な導関数の公式是如何得られるか？
- 回転する点はsinとcosの座標を持つ。これらの微小な座標の変化から、どのような厳密な導関数の公式が導かれるか。
- この単元ではラジアン極限を学ぶ：ラジアンで測定された角度を用いるための小角度極限である。
数学的構造を選択せよ
- ラジアンにおいて、h がゼロに近づくとき sin h/h は 1 に、(cos h−1)/h は 0 に収束する。差分商における加法定理を用いることで、d(sin x)/dx=cos x および d(cos x)/dx=−sin x が得られる。これらの極限は接線の傾きを決定するため、入力値は必ずラジアンである必要がある。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
sinとcosの導関数公式にラジアンが必要なのはなぜか？
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幾何学的極限 sin h<h<tan h はラジアンにおける弧長に関する命題です。度法ではこの極限はπ/180となり、すべての導関数にその係数が掛かります。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
For sin x, [sin(x+h)−sin x]/h=sin x[(cos h−1)/h]+cos x[sin h/h], tending to cos x. For cos x the quotient is cos x[(cos h−1)/h]−sin x[sin h/h], tending to −sin x. Near zero, the unit-circle inequality sin h<h<tan h for 0<h<π/2 bounds sin h/h between cos h and 1; negative h has the same ratio. Also (cos h−1)/h=−2sin²(h/2)/h tends to zero, using sin(h/2)/(h/2)→1. At x=π/6, the sine gradient is √3/2 and the cosine gradient is −1/2. For sine at x=0, h=0.1 gives sin(0.1)/0.1≈0.998334; at h=−0.1 the ratio is the same.
第一原理による正弦と余弦の導関数
ラジアンにおいて、h がゼロに近づくとき、sin h/h は 1 に、(cos h−1)/h は 0 に近づく
導関数の計算をその極限または傾きの符号解釈に結びつける。
x=0 における sin x の導関数を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
正弦の証明から cos0=1 が得られる。
魅力的な近道を検証せよ
- 小角度近似は、有限の h に対する厳密な等式ではない。cos の導関数にはマイナス符号が含まれる。変数 θ が度（degrees）で測定されている場合、d sin(πθ/180)/dθ = (π/180)cos(πθ/180) となる。この係数なしでラジアンの公式をそのまま適用してはならない。導関数の公式自体を使って出発点となる極限を証明してはならない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
ラジアン x について cos x の導関数は正の sin x であるという主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
x=π/2 における cos x の導関数を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
余弦の証明から −sin(π/2)=−1 が得られる。
ラジアン単位の x に対する cos x の導関数は +sin x である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
小角度近似は有限の h に対する正確な等式ではない。余弦の導関数にはマイナス符がある。変数 θ が度単位で測られる場合、d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180) となるため、その係数なしではラジアン公式をそのまま適用できない。導関数の公式自体を用いて初期の極限を証明してはならない。
新しい状況を読み解く
- 元の差分商から始め、2つのラジアン極限を適用する前に加法定理を用いる。固定された sin x/cos x の因子とそれらの符号を残す。グラフの上昇・下降状況と照らし合わせて厳密な点の傾きを確認すること。この証明は x=0 付近だけでなく、あらゆる実数ラジアン x に対して成立する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
x=π における sin x の導関数を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
正弦の証明から cosπ=−1 が得られる。
各ラジアン極限を、h→0での値と対応させなさい。
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sinの差分商は cos x·(sin h/h)+sin x·((cos h-1)/h) に分解され、二つの極限が cos x を与えます。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
ラジアンで測定された角度に用いられる小角近似。関係式を選び、解法を示し、仮定を確認して結果を解釈せよ。