合成関数の微分、積の微分、商の微分、隠微分
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 合成の法則 |
内側の式も変化しているか？
- 費用曲線は、変化する式べき乗として表される。外側のべき乗だけを微分すると、入力の変化率を見落としてしまう。
- この授業では**合成関数の微分法（チェーンルール）**を学ぶ：複合関数において、外側の導関数と内側の導関数を掛け合わせる法則である。
数学的構造を選択せよ
- y=f(g(x)) の場合、y' = f'(g(x))g'(x)。uv の場合、u'v + uv' と微分する。u/v の場合、(u'v - uv')/v² を用い、ただし v≠0。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
なぜ x·eˣ の導関数は単に 1·eˣ ではないのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
各因子が変化するため、両方が寄与する：u=x および v=eˣ とすると、積の法則により u′v+uv′=eˣ+xeˣ となる。個別の導関数の積をとると、uv′項が欠落する。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
y=(3x+1)^4 のとき、y'=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3。x=0 における傾きは 12。x²+y²=25 を暗黙的に微分すると、2x+2y y'=0 となり、y≠0 のとき y'=-x/y となる。
合成関数の微分、積の微分、商の微分、隠微分
y=f(g(x)) について、y' = f'(g(x))g'(x) です。
モデルと解答例を比較し、1つの違いを説明せよ。
(3x+1)^4 の x=0 における導関数を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
合成関数の微分の法則により、結果は 4(3x+1)³×3 となり、x=0 のときその値は 12 です。
魅力的な近道を検証せよ
- 積の導関数は、各因子の導関数の積ではない。暗黙的微分において、yを含む関数を微分するたびに dy/dx が付く。商の分母は二乗される。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
u(x)v(x) の導関数は常に u'v' である。この主張は誤りである。どの定義や前提条件に違反しているかを説明せよ。
x²+y²=25 において、点 (3,4) における dy/dx を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
暗黙微分により 2x+2y y' = 0 が得られるため、y'=-3/4 となる。
u(x)v(x) の導関数は常に u'(x)v'(x) と等しい。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
积の導関数は、導関数の積と等しくありません。隠微分においては、yに関する関数を微分するたびに dy/dx の項が乗算されます。商の微分では、分母が二乗されます。
新しい状況を読み解く
- 微分する前に有用な形を選ぶ：短い多項式を展開した方が簡単な場合もある。連動変化率の問題では、まず関係式を記号で書き、時間を基準に微分してから測定値を代入する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
y=xe^x について、x=0 における dy/dx を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
積の微分の法則より e^x+xe^x となり、x=0 のときの値は 1 です。
それぞれの法則を適用すべき状況と対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
合成関数は外側と内側の導関数を連鎖させ；積は u′v+uv′ を加え；暗黙の式では微分された y の項ごとに dy/dx 因子を持つ。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
複合関数において、外側の導関数と内側の導関数を掛け合わせる法則。適切な関係式を選び、計算過程を示し、適用条件を検証して結果を解釈せよ。