Proportional rates, half-life and model limits
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| proportional rate/prəˈpɔːʃənl reɪt/ | 比例変化率 |
減少量那么多剩余越多，每小时减少的量越大。なぜ固定された半減期が一定の減衰を意味しないのか？
- 減少量那么多剩余越多，每小时减少的量越大。なぜ固定された半減期が一定の減衰を意味しないのか？
- この授業では比例速度を学ぶ：変化率が現在量に定数を乗じたものと同じである。
数学的構造を選択せよ
- y=Ae^(kt) に対して、dy/dt=ke^(kt)A=ky。A>0 は初期量；k は時間単位の逆数における定数比例率である。正の k は増減、負の k は減衰、ゼロの k は一定を示す。経過時間 Δt における乗数因子は e^(kΔt) である。倍加時間は k>2 に対して ln0/k、半減期は k<2 に対して ln0/|k| である。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For Q=80e^(-λt) with half-life 4 hours, why are the hourly losses NOT equal?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A constant PROPORTIONAL rate means the same fraction per unit time, not the same amount. The absolute loss in each interval falls as the amount itself falls.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
例示として減衰 Q=80e^(−λt)、t は時間単位（時間）、λ=ln2/4 とします。すると Q₄=40、Q₈=20、Q₁₂=10 となり、各4時間ステップごとに量は半分になります。t=4 における速度は Q′=−40λ=−10ln2 単位/時間です。Q≤10 を解くと t≥12 となり、厳密条件 Q<10 instead needs t>12 です。例示として数学的記述 P=100e^(0.1t)、t は年単位の場合、P₁≈110.517 であり、1年間の有効成長率は約 10.517% で、10% ではありません。与えられた有効年次成長率が 10% の場合、k=ln1.1 を使用します。連続複利と指定された年次乗数因子を混同してはいけません。
Proportional rates, half-life and model limits
For y=Ae^(kt), dy/dt=ke^(kt)A=ky
State the valid input, plotted variable or time unit before using the logarithmic/exponential relationship.
Find Q at t=4 hours.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
80e^(−ln2)=40.
魅力的な近道を検証せよ
- 指数部は無次元でなければならない：時間を分に変えると k は 1/60 倍に変化します。半減期はゼロに到達する時間ではありません。有限の時間で正の A に指数関数を掛けると、結果は常に正です。絶対的な損失量は量に依存しますが、比例速度は一定です。最初の整数期間の閾値については、連続的な通過時刻だけでなく、隣接する整数のチェックが必要です。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
一定の指数関数比例速度とは、等しい時間間隔ごとに同じ絶対量が失われることを意味する。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
Find Q at t=8 hours.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
80e^(−2ln2)=20.
A constant exponential proportional rate means the same absolute amount is lost in each equal time interval.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The exponent must be dimensionless: changing hours to minutes changes k by a factor 1/60. A half-life is not the time to reach zero; positive A times an exponential stays positive for finite time. Absolute losses vary with the amount although the proportional rate is fixed. A first whole-period threshold needs adjacent integer checks rather than only a continuous crossing time.
新しい状況を読み解く
- 時間・量の単位、初期条件、定数速度の仮定を明記せよ。外挿する前に、観測値と予測値を比較せよ。限られた資源、環境条件の変化、料金や引き出しは単純な増大モデルを無効にする可能性があり、減衰条件の変化は可変速度または多段階モデルを必要とする可能性がある。これらは例示としての数学モデルであり、製品用語や治療指示ではない。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the first time in hours when Q≤10.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
ln(80/10)/(ln2/4)=12; monotone decay gives Q≤10 from that time onward.
Match each exponential-model quantity to its formula.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The exponent must be dimensionless, so k carries inverse-time units tied to the stated time unit; changing hours to minutes rescales k.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · F. エクステンションを割り当てる前に、対象レベルとカリキュラムを一致させよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
変化率が現在量に定数を乗じたものと同じである。関係式を選び、手法を示し、その仮定を確認して結果を解釈せよ。