べき関数と指数関数のフィットにおける対数グラフ
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | 切片 |
対数を取ると曲線が直線になることがある。水平軸の哪一种がべき関数モデルと指数関数モデルを区別するか？
- 対数を取ると曲線が直線になることがある。水平軸の哪一种がべき関数モデルと指数関数モデルを区別するか？
- この単元では 切片 を学ぶ：選択した水平変数がゼロのときの変換された垂直値である。
数学的構造を選択せよ
- 正の観測値とパラメータにおいて、y=ax^p (x>0) ならば ln y=ln a+p ln x となる。ln y を ln x に対してプロットすると、傾きは p、切片は ln a となる。y=kb^x (k,b>0) ならば ln y=ln k+x ln b となる。ln y を x に対してプロットすると、傾きは ln b、切片は ln k となる。両対数軸に同じ対数底を使用し、その底の逆関数を用いてパラメータを取り戻せ。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
y=ax^p の対数-対数プロットにおける傾きは何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
両辺に対数をとると、べき関数は ln y=ln a+p·ln x という形になり、傾きは p、切片は ln a となる。一方、指数関数 y=kb^x の場合は ln y を x に対してプロットする——軸の取り方によって傾きの意味が変わることに注意せよ。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
べき関数データ (x,y)=(1,3),(2,12),(4,48) から勾配 [ln48−ln3]/[ln4−ln1]=2、切片 ln3 が得られ、したがって y=3x² となる。指数関数データ (0,5),(1,10),(2,20),(3,40) から半対数勾配 ln2 と切片 ln5 が得られ、したがって y=5×2^x となる。底が10 の対数を用いると、同じ指数勾配は log₁₀2≈0.30103 となり、b=e^10 ではなく b=0.30103^2≈0.30103 となる。新しいべき関数データの観測値 (3,30) は、適合予測値 27 よりも残差 3 だけ大きい。完全に直線な較正セットであっても、モデルが観測範囲を超えて有効であることを保証するものではない。
べき関数と指数関数のフィットにおける対数グラフ
正の観測値およびパラメータにおいて、x>0 のとき、y=ax^p は ln y=ln a+p ln x を与える。
対数・指数関数の関係式を使用する前に、有効な入力の範囲、プロット変数、または時間単位を明記せよ。
与えられたべきデータに対するべき指数を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
log-logプロットの勾配はln16/ln4=2です。
魅力的な近道を検証せよ
- 幂関フィットの場合、勾配は対数ではなく指数そのものである。指数関数フィットの場合、勾配は底そのものではなく底の対数である。幂関グラフの切片は x=1 に対応する（このとき ln x=0）。指数関数の切片は x=0 に対応する。非正の観測値は直接対数をとれない。指数関数の半対数プロットには x=0 や負の x が含まれる可能性があるが、両対数幂関プロットには含まれない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
ln y を x に対してプロットすることは、すべての幂関モデル y=ax^p を直線化する。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
その乗法的パラメータ a を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
切片は ln3 なので、a=e^(ln3)=3.
ln y を x に対してプロットすると、すべてのべき関数モデル y=ax^p は直線化される。
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べき関数の近似では、傾きは指数そのものであり、その対数ではありません。指数関数の近似では、傾きは底の対数であり、底そのものではありません。べき関数のグラフの切片は x=1 に対応しますが、このとき ln x=0 です。指数関数の切片は x=0 に対応します。非正の観測値をそのまま対数取ることができません。指数関数の対数yプロットには x=0 や負のxが含まれる可能性がありますが、対数-対数べきプロットには含まれません。
新しい状況を読み解く
- 変換された軸にラベルを付け、単一のデータ点ではなくフィットされた直線上で離れのある点から勾配を推定せよ。元の単位に戻す前に、各切片パラメータを取り戻せ。予測値を元のモデルに代入し、そこで残差を検討せよ。フィット範囲、測定不確実性、外挿が妥当かどうかを明記せよ。系統的な乖離は別のモデルを示唆することがある。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
与えられた指数データに対する指数関数の底 b を求めよ。
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semilog 図の傾きは ln2 なので、b=e^(ln2)=2.
各モデルとそれを直線化するプロットを対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
べき関数のプロットでは非正の x に対数は取れないが、指数関数のプロットでは任意の x が可能である；切片はそれぞれ ln x=0 または x=0 に対応する。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · F. エクステンションを割り当てる前に、対象レベルとカリキュラムを一致させよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
選択した水平変数がゼロのときの変換された垂直値である。関係式を選び、手法を示し、その仮定を確認して結果を解釈せよ。