Logarithm laws, negative powers and equation domains
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | 真数 |
2つの対数を組み合わせて多項式を得ると、余分な解が生じることがある。元の入力条件でこれを除外するのはどれか？
- 2つの対数を組み合わせて多項式を得ると、余分な解が生じることがある。元の入力条件でこれを除外するのはどれか？
- この単元では 引数 を学ぶ：対数の中にある入力であり、実対数においては正でなければならない。
数学的構造を選択せよ
- a > 0、a ≠ 1、正の u, v に対して：log_a(uv)=log_a u+log_a v、log_a(u/v)=log_a u−log_a v、および log_a(u^k)=k log_a u（k は実数）。これらは指数の掛け算・割り算・累乗から導かれます。特に k=−1 は逆数を、k=−1/2 は逆平方根を与えます。a^x=b （b > 0）を解くには、x=ln b/ln a を用います。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 gives x²=9. Why is x=-3 rejected?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The original equation requires x-1>0 and x+1>0, so x>1. The combined form ln(x²-1) accepts -3, but that candidate fails the original arguments - always check candidates upstream.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
x > 0 のとき、ln(x^(-1))=−ln x かつ ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x です。ln(x−1)+ln(x+1)=ln8 を解きます：元の定義域は x > 1 です。組み合わせると ln(x²−1)=ln8 となるため、x²=9 となり、候補 ±3；元の引数を満たすのは x=3 のみです。3^x=20 に対して、x=ln20/ln3 です。2^(2x)−2^x−2=0 の場合、u=2^x > 0 とおくと：(u−2)(u+1)=0 となるため、u=2 から x=1 となり、u=−1 は不可能です。また、ln(2+3)=ln5 である一方、ln2+ln3=ln6 であり、対数内の和をこのように分解することはできません。
Logarithm laws, negative powers and equation domains
For a>0, a≠1 and positive u,v: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, and log_a(u^k)=k log_a u for real k
State the valid input, plotted variable or time unit before using the logarithmic/exponential relationship.
Solve 3^x=27.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
27=3³, so x=3.
魅力的な近道を検証せよ
- 対数の結合や展開は元の定義域を消去しない。ln(u²)=2ln|u| (u≠0) であり、2lnu と書くためにはさらに u>0 が必要である。a^x=b において、ゼロまたは負の右辺に対して実対数を取ってはならない。底が 1 の場合、1^x=b は b=1 のときすべての実数 x が解となり、それ以外に解はない。対数の商は利用できない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
対数を組み合わせた後に得られたすべての多項式の解は、元の対数方程式を満たす。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反するかを説明せよ。
For x>0 write ln(x^(-1/2))=klnx. Find k.
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The power law takes exponent −1/2 outside: k=−1/2.
Every polynomial root obtained after combining logarithms satisfies the original log equation.
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Combining or expanding logs does not erase their original domains. ln(u²)=2ln|u| for u≠0; writing 2lnu additionally needs u>0. Do not take a real logarithm of a zero or negative right-hand side in a^x=b. For base 1, 1^x=b has all real x when b=1 and no solutions otherwise; the log quotient is not available.
新しい状況を読み解く
- まず正性の制限をリストアップし、共通の底を用いて有効な法則を適用せよ。代数計算後、すべての候補値を元の対数方程式または指数方程式に代入せよ。小数の要求がない限り、対数の商は正確な値で残す。対数の底を変化させても、両方の対数商が同じ有効な底を使用している限り、指数方程式の解は変わらない。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the valid x for ln(x−1)+ln(x+1)=ln8.
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x²=9 gives ±3, but both original log arguments are positive only for x>1; accept 3.
Match each log law to its statement.
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The laws follow from exponent rules and apply only to positive arguments; ln(x²)=2ln|x| needs the modulus when x can be negative.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · F. エクステンションを割り当てる前に、対象レベルとカリキュラムを一致させよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
対数の中にある入力であり、実対数においては正でなければならない。関係式を選び、方法を示し、仮定を検証し、結果を解釈せよ。