指数関数のグラフと対数逆関数
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | 対数 |
An exponential maps an exponent to a positive amount. Which graph reverses that input-output pair?
- An exponential maps an exponent to a positive amount. Which graph reverses that input-output pair?
- This lesson studies logarithm 对数: The exponent to which a stated valid base must be raised to produce a positive input.
Choose the mathematical structure
- For a>0, y=a^x has every real input and positive outputs. It passes through (0,1). For a>1 it increases; for 0<a<1 it decreases. For a=1 it is the constant 1, with no inverse function. For a>0 and a≠1, y=log_a x is the inverse of a^x: domain x>0, range all real numbers. ln x is log_e x and reverses e^x.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
なぜ 1^x に対数の逆関数が存在しないのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆関数は1対1の関数にのみ存在する。定数関数はすべての x を 1 に集約するため、「底が 1 の対数」は定義できない；有効な底は a>0、a≠1 である。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
The graph 2^x contains (−1,1/2),(0,1),(1,2),(2,4). Its inverse log₂x contains (1/2,−1),(1,0),(2,1),(4,2), reflected in y=x. The graph (1/2)^x gives 2,1,1/2 at x=−1,0,1, while its inverse log_(1/2)x is decreasing. For e^x and ln x, the points (0,1) and (1,0) are reflected partners; ln e=1 and ln(e³)=3. For any real u, ln(e^u)=u; for x>0, e^(ln x)=x. Logarithms approach but do not reach their vertical boundary x=0; e^x approaches y=0 as x tends to negative infinity.
指数関数のグラフと対数逆関数
a > 0 のとき、y = a^x はすべての実数を入力とし、正の値を出力とする。
対数・指数関数の関係式を使用する前に、有効な入力の範囲、プロット変数、または時間単位を明記せよ。
log₂(1/8) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
2^(−3)=1/8 であるため、対数は −3 となる。
Test a tempting shortcut
- Neither ln0 nor the logarithm of a negative real number exists in the real-number course. A negative logarithm output is allowed: ln(1/e)=−1. Base 1 is permitted for an exponential constant but not for a logarithm. For a base below 1 the exponential approaches zero as x tends to positive infinity, and the inverse has the opposite increasing/decreasing direction from the a>1 case.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The constant exponential 1^x has a logarithmic inverse for all positive inputs. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
ln(e³) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
ln は e の指数関数の逆関数であるため、ln(e^³) = 3 となる。
定数指数関数 1^x は、すべての正の値に対して対数逆関数を持つ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
実数での課程において、ln0 や負の実数の対数は存在しない。ただし、負の対数出力は許容される: ln(1/e) = −1。指数関数の底 ⟨⟩1 は許可されるが、対数の底としては使えない。底が 1 より小さい場合、指数関数は x が正の無限大に近づくにつれて零に漸近し、その逆関数は a > 1 の場合とは増減の方向が逆向きになる。
Interpret a new situation
- State the base, domain and range before taking an inverse. Swap the coordinates of exact exponential points to construct the log graph. Preserve open boundaries and asymptotes. The source F3 prints x≥0; the valid logarithm input condition used here is x>0, since a^u is positive and never zero.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
e^(ln5) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
正の値 5 は ln の定義域に含まれるため、e^(ln5) = 5 となる。
各ペアを逆関数の関係に対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
指数関数は (0,1) を通り、その逆関数は (1,0) を通る。対数は正の入力のみを受け付けるが、出力は負也可以是。
Use this in your course
- 7357 · A-level · F. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The exponent to which a stated valid base must be raised to produce a positive input. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.