正弦定理の解が不確定な場合と、有効な三角形の数
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | 曖昧な場合 |
Two sides and a non-included angle can describe two different plots of land. How do we check whether both triangles exist?
- Two sides and a non-included angle can describe two different plots of land. How do we check whether both triangles exist?
- This lesson studies ambiguous case 歧义情形: Given triangle data that can produce two different valid triangles.
Choose the mathematical structure
- Let A be opposite a, with b another known side. The sine rule gives sinB=b sinA/a. If this ratio is above 1 there is no triangle. Otherwise test both B=arcsin(b sinA/a) and its supplement 180°−B. Retain only positive C=180°−A−B; when B=90° the two branches coincide. Every side must be positive.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
A=30°, a=7, b=10 が与えられたとき、なぜ2つの有効な三角形が存在するのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆正弦は鋭角の候補を提供し、その補角が第二候補となる。両方が成立するのは、h=a<b かつ h=b sinA=5 であるためである。a=5 の場合は1つの直角三角形のみが該当し、a=4 の場合は解はない。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Take A=30°, a=7 and b=10. Then sinB=5/7, so B≈45.5847° or 134.4153°. Both give positive C, about 104.4153° or 15.5847°. The corresponding third sides are c=5√3+2√6≈13.5592 and c=5√3−2√6≈3.7613. To derive them, place A at the origin and C=(10cos30°,10sin30°)=(5√3,5); B=(c,0). The condition BC=7 gives (c−5√3)²+25=49. Both intersections lie on the positive baseline. Their areas are bc sinA/2=25√3/2±5√6, so the same data does not determine one area.
正弦定理の解が不確定な場合と、有効な三角形の数
Aをaに対して対向する角とし、bを別の既知の辺とする
各三角形候補または変換された关键点を、その定義条件に基づいて正当化してください。
A=30°, a=7, b=10 のとき、三角形はいくつ作れるか。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
h=10sin30°=5; 5<7<10 であるため、正の底辺との交点は2つある。
Test a tempting shortcut
- A second inverse-sine value is only a candidate: it may make the remaining angle zero or negative. For acute A and h=b sinA, the cases are a<h: none; a=h: one right triangle; h<a<b: two; a≥b: one. At a=b the extra baseline intersection is c=0, a degenerate shape. For right or obtuse A, a must exceed b for one triangle; otherwise none.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Two inverse-sine values always give two valid triangles. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
A=30°, a=5, b=10 のとき、三角形はいくつ作れるか。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
a=h=5 の場合、直角三角形が1つあり、逆正弦の枝が一致する。
2つの逆正弦値は常に2つの有効な三角形を与えます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆正弦値の第二候補はあくまで候補に過ぎず、残りの角がゼロや負になる可能性がある。鋭角Aかつ高さh=b sinAの場合、条件は a<h: 解なし; a=h: 1つの直角三角形; h<a<b: 2つ; a≥b: 1つである。a=bのとき、追加される底辺との交点は c=0 となり、退化した形状となる。直角または鈍角Aの場合、1つの三角形を得るにはaがbより大きくなければならず、そうでなければ解なしである。
Interpret a new situation
- In the example h=5: changing a to 5 gives one right triangle, to 4 gives none, and to 10 gives one with A=B=30°. Check the angle sum, side order and cosine-rule reconstruction for every candidate. State both configurations when the given information does not select one, and keep exact lengths/areas where possible.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
A=30°, a=4, b=10 のとき、三角形はいくつ作れるか。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
a=4<h=5 makes sinB=5/4>1 であり、三角形は存在しない。
各曖昧なケースの条件（鋭角A、h=b sinA）に対応して、三角形の個数を選べ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
補角の候補はあくまで候補に過ぎず、正の第三角と正の辺長が残った場合にのみ有効となる。
Use this in your course
- 7357 · A-level · E. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Given triangle data that can produce two different valid triangles. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.