Sine rule, cosine rule and triangle area
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| included angle/ɪnˈkluːdɪd ˈæŋɡl/ | 挟角 |
直角のない三角形の敷地があります。既知の2辺とその挟角から、垂線の長さを発想せずに残りの辺を求めることができます。
- 直角を持たない三角形の測量において、既知の2辺とその挟角があれば、垂線の長さなどを発想せずに残りの辺を求めることができる。
- この授業では挟角（2つの指定された辺の間の角）について学ぶ。
数学的構造を選択せよ
- 正弦則は対向する辺と角の組を対応させる：a/sinA=b/sinB=c/sinC。余弦則 a²=b²+c²-2bc cosA は、a の対角である角 A を用いる。面積は C が a と b の間に位置する場合、ab sinC/2 で表される。既知の情報に基づいて適切な法則を選択せよ。逆正弦関数の計算結果には鋭角と、その補角となる鈍角の両方が含まれる可能性があるため、どちらを採用する前に内角の和や与えられた辺の条件を確認すること。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Sides 6 and 8 include a 60° angle. Why does the area formula use sin 60°?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The formula A=ab sin C/2 treats one side as base and derives the height from the other side times the sine of the angle BETWEEN them. A non-included angle gives a wrong height.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
辺 6 と 8 のなす角が 60° のとき、c²=36+64-96×(1/2)=52 となるため、c=2√13 である。この三角形の面積は (1/2)×6×8×sin60°=12√3 となる。a=4 が角 A=30° に、B=45° に対して辺 b=4 sin45°/sin30°=4√2 に対応する場合がある。また、a=7, b=5, c=6 のとき、cosA=(25+36-49)/(2×5×6)=1/5 となり、A≈78.5° となる。面積 12、挟む辺 6 と 8 から角を求める場合、sinC=24/48=1/2 であり、C は 30° または 150° となり得るが、最終的には残りの条件によって形状が確定する。対向する辺と角の組にラベルを付け、三角形不等式を確認してあり得ない辺の組み合わせを除外すること。
Sine rule, cosine rule and triangle area
Sine rule pairs opposite sides/angles: a/sinA=b/sinB=c/sinC
Classify the worked-case statements, then explain the units or invariant that justifies each decision.
For sides 6,8 and included 60°, find the square of the third side.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
36+64-96×cos60°=52.
魅力的な近道を検証せよ
- 正弦則において、辺とそれに対する角ではなく、隣接する角を対応させてはいけない。面積を求めるための角は必ず挟角でなければならない。電卓の初回の逆正弦計算結果が、唯一の可能な三角形であるとは限らない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
正弦則は各辺を三角形内の任意の角と対応させるという主張は誤りである。この主張がどの定義または前提条件に反しているかを説明せよ。
For sides 7,5,6, find cosine of the angle opposite 7.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(25+36-49)/(2×5×6)=12/60.
The sine rule pairs each side with any angle in the triangle.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Do not pair a side with its adjacent angle in the sine rule. The area angle must be included. A calculator’s first inverse-sine answer need not be the only possible triangle.
新しい状況を読み解く
- AQA 7357 E1 には正弦則・余弦則および一般三角形の面積が含まれる。既知の対向する辺と角の組、または挟角に基づいて法則を選択し、正確な値を保持した上で、すべての可能な三角形の構成を試行せよ。独立した曖昧性のケースに関する授業では、挟角でない角が与えられた場合の特殊なケースを扱う。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
For area 12 and enclosing sides 6,8, find sine of the included angle.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
sinC=2×12/(6×8)=1/2.
Match each triangle rule to the information it needs.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Choose the rule from what is known: opposite pairs call for the sine rule, an included angle calls for the cosine rule or the area formula.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · E。拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラムを確認せよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
2つの指定された辺の間の角。関係式を選び、手順を示し、仮定を確認して結果を解釈せよ。