Double-angle identities, quadrant signs and squared forms
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | 倍角 |
円周上の角度を倍増すると、対応する点が別の象限に移動することがある。計算で残存する符号はどれか？
- 円周上の角度を倍増すると、対応する点が別の象限に移動することがある。計算で残存する符号はどれか？
- この単元では倍角を学ぶ：元の角度の二倍に等しい角度である。
数学的構造を選択せよ
- 合成公式に B=A=θ を代入する: sin2θ=2sinθ cosθ; cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1。tanθ および tan2θ が存在する場合、tan2θ=2tanθ/(1−tan²θ) である。変形すると sin²θ=(1−cos2θ)/2 および cos²θ=(1+cos2θ)/2 となる。これらの恒等式は関数を二乗することではなく、完全な角度 2θ に依存する。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
With cos θ=-3/5 in quadrant II, why is sin θ=+4/5 rather than -4/5?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A squared identity yields only the magnitude. The stated quadrant fixes the sign: sine is positive in quadrant II, so sin θ=+4/5 and sin2θ=2(4/5)(-3/5)=-24/25.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
cosθ=−3/5 であり θ が第II象限にあるとき、sinθ=+4/5 である。したがって sin2θ=2(4/5)(−3/5)=−24/25 および cos2θ=9/25−16/25=−7/25 となる。両方とも負であるため、倍角は一周 modulo で第III象限に位置する；tan2θ=24/7 である。正接の公式は tanθ=−4/3 から同じ答えを与える。cos2θ から sin²θ を復元する: [1−(−7/25)]/2=16/25。θ=π/4 のとき、正弦・余弦の倍角公式は依然として有効だが、tan2θ は定義されない。θ=π/2 のとき、tanθ は定義されないが、tan2θ=0 である。この場合は正接の商ではなく、正弦・余弦を使用せよ。
Double-angle identities, quadrant signs and squared forms
Set B=A=θ in the compound formulas: sin2θ=2sinθ cosθ; cos2θ=cos²θ−sin²θ=1−2sin²θ=2cos²θ−1
Explain how the angle formula follows from the geometric or coefficient conditions.
For the worked quadrant-II angle, find sin2θ.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
2sinθcosθ=2×(4/5)×(−3/5)=−24/25=−0.96.
魅力的な近道を検証せよ
- sin2θ は sin(2θ) を意味し、sin²θ は (sinθ)² を意味する。二乗した値は大きさを示すが、符号を示さないため、平方根を取る前に指定された象限を使用せよ。符号をチェックせずに元の角度から倍角の象限を推論してはならない。簡略化された恒等式は、元の正接の除外条件を除去しない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
任意の角度に対して関数 sin2θ と sin²θ は同じ値を持つ。この主張は誤りである。どの定義または仮定を違反しているかを説明せよ。
Find cos2θ.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cos²θ−sin²θ=9/25−16/25=−7/25=−0.28.
The functions sin2θ and sin²θ have the same value for every angle.
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sin2θ means sin(2θ); sin²θ means (sinθ)². A squared value gives a magnitude but not a sign; use the stated quadrant before taking a root. Never infer the doubled angle’s quadrant from the original one without checking signs. Simplified identities do not remove the original tangent exclusions.
新しい状況を読み解く
- 既知の量に合う余弦の形を選ぶ：余弦が与えられている場合は 2cos²θ−1、正弦が与えられている場合は 1−2sin²θ。二乗された形を使って三角関数の二乗を定数と二重角項に置き換える。導出した符号は単位円で確認し、小数が要求されるまで正確な分数を保持する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find tan2θ.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Divide sine by cosine: (−24/25)/(−7/25)=24/7.
Match each double-angle form to its expression.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
sin2θ means sin(2θ), never (sin θ)²; the rearranged squared forms trade a square for a double angle in integrations and proofs.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · E。拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラムを確認せよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
元の角度の二倍に等しい角度。関係性を選び、手法を示し、仮定を検証し、結果を解釈せよ。