Reciprocal identities and one-sided proof chains
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 |
二つの公式が一つの角度で一致する。それが定義されるすべての角度で一致することを証明するか？
- 二つの公式が一つの角度で一致する。それが定義されるすべての角度で一致することを証明するか？
- このレッスンは**恒等式（identity）**を学ぶ：指定された共通定義域内のすべての入力に対して真となる等式である。
数学的構造を選択せよ
- 単位円方程式は sin²θ + cos²θ = ⟨1⟩ である。cosθ ≠ ⟨0⟩ のとき cos²θ で割って tan²θ + ⟨1⟩ = sec²θ を得る。sinθ ≠ ⟨0⟩ のとき sin²θ で割って ⟨1⟩ + cot²θ = cosec²θ を得る。約分や除法を行う前に除外条件を記録せよ。証明は一方から始まり、有効な等式を通じて他方に至るものであり、数値チェックだけでは証明にならない。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why is checking tan²θ-sin²θ=tan²θsin²θ at θ=π/4 not a proof?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
An identity claims equality at EVERY allowed input. The proof chains valid equalities from one side to the other: sin²θ(1/cos²θ-1)=sin⁴θ/cos²θ=tan²θsin²θ, with exclusions recorded.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
cosθ≠0 に対して tan²θ−sin²θ=tan²θ sin²θ を証明せよ。左辺は sin²θ(1/cos²θ−1)=sin²θ(1−cos²θ)/cos²θ=sin⁴θ/cos²θ=tan²θ sin²θ となる。sinθ で除算する必要がないため、sinθ=0 も許容される。sinθ≠0 に対して、(1−cosθ)/sinθ は (1−cosθ)(1+cosθ)/[sinθ(1+cosθ)]=sin²θ/[sinθ(1+cosθ)]=sinθ/(1+cosθ) となる。明示された除外条件により、1+cosθ も非零となる。secθ=2 で θ が鋭角の場合、tan²θ=4−1=3、cosθ=1/2、sin²θ=3/4、cosec²θ=4/3、cot²θ=1/3 となる。
Reciprocal identities and one-sided proof chains
The unit-circle equation gives sin²θ+cos²θ=1
Explain which denominator or branch restriction makes each step valid.
If secθ=2 and θ is acute, find tan²θ.
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tan²θ=sec²θ−1=4−1=3.
魅力的な近道を検証せよ
- 恒等式の証明は、正当な根拠なく両辺が等しいと仮定して操作することとは意味しない。平方された恒等式は関数の符号を固定しない。それは象限が決める。最後の式sinθ/(1+cosθ)はθ=0で定義されているが、元の式(1−cosθ)/sinθはそうではない。簡略化は元の定義域を修復しない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
提案された恒等式を一つの角度で確認することは、すべての許容される角度について証明することになる。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
Find cosec²θ for that angle.
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sin²θ=1−cos²θ=3/4; its reciprocal is 4/3.
Checking a proposed identity at one angle proves it for all allowed angles.
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Proving an identity does not mean assuming both sides equal and manipulating that assumption without justification. A squared identity does not fix a function’s sign: the quadrant does. The last expression sinθ/(1+cosθ) is defined at θ=0, but the original (1−cosθ)/sinθ is not; simplification does not repair the original domain.
新しい状況を読み解く
- より複雑な側面を選び、逆数関数を正弦/余弦に置き換え、通分を行い、sin²+cos²=1を用いる。取り消した因子にはすべて注釈をつける。主張された恒等式が偽であることを示すには、有効な反例が1つあれば十分であり、証明するには、共通定義域内のすべての角度に対してその連鎖が成り立つ理由を説明する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find cot²θ for that angle.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cot²θ=cosec²θ−1=4/3−1=1/3.
Match each derived identity to its source.
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Simplification never repairs the original domain: a step valid only where sinθ≠0 leaves θ=0 excluded from the original statement.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · E。拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラムを確認せよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
指定された共通定義域内のすべての入力に対して真となる等式。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。