Inverse trigonometric branches and principal values
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | 主値 |
高さ比は多くの可能な車輪の角度を与える。計算機はどのようにしてその中から一つだけを選ぶのか？
- 高さ比は多くの可能な車輪の角度を与える。計算機はどのようにしてその中から一つだけを選ぶのか？
- この授業では主値を学ぶ：指定された制限区間から選ばれた単一の逆出力である。
数学的構造を選択せよ
- arcsin を定義するために、sin を [−π/2,π/2] に制限し、定義域 [−1,1]、値域 [−π/2,π/2] とする。arccos を定義するために、cos を [0,π] に制限し、定義域 [−1,1]、値域 [0,π] とする。arctan を定義するために、tan を (−π/2,π/2) に制限し、すべての実数入力に対し値域 (−π/2,π/2) とする。これらの逆関数のグラフは、制限された基本関数のグラフを y=x に関して反映したものである。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why does arcsin(sin(5π/6)) equal π/6, not 5π/6?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Sine is restricted to [-π/2,π/2] to make it one-to-one; the inverse can only return values from that branch. The original angle is recovered only when it already lies in the restricted interval.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
arcsin(1/2)=π/6、arccos(−1/2)=2π/3、arctan(−1)=−π/4。sin(5π/6)=1/2であるにもかかわらず、arcsin(sin(5π/6))=π/6 であり、5π/6 ではない。同様に arccos(cos(4π/3))=2π/3、arctan(tan(3π/4))=−π/4 となる。sin x=1/2 が [0,2π) 上で成立する場合、主値 α=π/6 は α と π−α=5π/6 の両方を生成する。cos x=−1/2 の解は 2π/3 と 4π/3 であり、接線は π ごとにその主値を繰り返す。
Inverse trigonometric branches and principal values
Restrict sine to [−π/2,π/2] to define arcsin with domain [−1,1] and range [−π/2,π/2]
Explain which denominator or branch restriction makes each step valid.
Write arcsin(1/2)=kπ. Find k.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The principal sine angle is π/6, so k=1/6.
魅力的な近道を検証せよ
- sin(arcsin u)=u は −1≤u≤1 の場合のみ成立し、arcsin(sin x)=x は制限された sine 分岐上でのみ成立する。Arccos は減少関数なので、arccos(−1)=π および arccos(1)=0 である。Arctan は入力の絶対値が増加するにつれて ±π/2 に近づくが、それらの限界に到達することはない。主値だけで充分な区間の解集合ではない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
sine の後に逆正弦を適用すれば、すべての実数の角度に対して元の角度に戻ってくる。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反するか説明せよ。
Write arccos(−1/2)=kπ. Find k.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Cosine is −1/2 at 2π/3 on [0,π], so k=2/3.
Applying inverse sine after sine returns the original angle for every real angle.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
sin(arcsin u)=u only for −1≤u≤1; arcsin(sin x)=x only on the restricted sine branch. Arccos is decreasing, so arccos(−1)=π and arccos(1)=0. Arctan approaches ±π/2 as input grows in magnitude but never attains those limits. A principal value alone is not a full interval solution set.
新しい状況を読み解く
- 関数を合成する前に、定義域の端点と出力区間を特定する。逆関数のグラフにおいて、arcsin は (−1, −π/2) から (1, π/2) まで、arccos は (−1, π) から (1,0) まで、arctan は水平漸近線の間で (0,0) を通る。度数指定がない限り答えはラジアンで残し、すべての方程式候補を元の区間で確認せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Write arctan(−1)=kπ. Find k.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Tangent is −1 at −π/4 on (−π/2,π/2), so k=−1/4.
Match each inverse function to its restricted range.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Each branch is chosen to make the original function one-to-one; a principal value then generates the full solution set via symmetry and period.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · E。拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラムを確認せよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
指定された制限区間から選ばれる単一の逆関数出力。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。