逆三角関数と除外される角度
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割線 |
A formula divides by a rotating point’s horizontal coordinate. What happens as that coordinate approaches zero?
- A formula divides by a rotating point’s horizontal coordinate. What happens as that coordinate approaches zero?
- This lesson studies secant 正割: The reciprocal of cosine wherever cosine is nonzero.
Choose the mathematical structure
- secθ=1/cosθ and cosecθ=1/sinθ. Define cotθ=cosθ/sinθ, so it exists when sinθ≠0. Secant excludes θ=π/2+kπ; cosecant and cotangent exclude θ=kπ, for integer k. Secant/cosecant have period 2π and range (−∞,−1]∪[1,∞). Cotangent has period π and every real output. Secant is even; cosecant/cotangent are odd.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
なぜ cot(π/2)=0 であるのに、tan(π/2) は未定義なのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cot を cos/sin と定義し、1/tan としないことで、正接が成立しない所でも有効になります。π/2 において、cos=0 が正接をゼロにしますが、cot=0/1=0 を与えます。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
At θ=2π/3, cosθ=−1/2 and sinθ=√3/2, so secθ=−2, cosecθ=2√3/3 and cotθ=−√3/3. At θ=π/2, cotθ=0/1=0 and cosecθ=1, but secθ is undefined. Draw secant branches outside the strip −1<y<1: y=1 at 0, y=−1 at π, with vertical asymptotes at π/2 and 3π/2. Cosecant reaches 1 at π/2 and −1 at 3π/2, with asymptotes at 0, π and 2π. Cotangent decreases from positive to negative infinity on (0,π), crossing zero at π/2; repeat after π.
逆三角関数と除外される角度
secθ=1/cosθ および cosecθ=1/sinθ である。
各ステップが有効となるための、どの分母または枝の制限が必要かを説明せよ。
sec(2π/3) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cos(2π/3)=−1/2 なので、その逆数は −2 である。
Test a tempting shortcut
- cotθ=1/tanθ is usable only where both expressions exist and tanθ≠0. It cannot define cot(π/2), because tan(π/2) is undefined while cot(π/2)=0. The exponent −1 in sin⁻¹ often denotes inverse sine, not the reciprocal; write cosecθ when you mean 1/sinθ.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Cotangent is undefined at every angle where tangent is undefined. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
cot(π/2) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cot(π/2)=cos(π/2)/sin(π/2)=0/1=0 である。
正接が定義されないすべての角度において、余切も定義されない。
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cotθ=1/tanθ は両方の式が存在し tanθ≠0 となる領域でのみ有効である。tan(π/2) が定義されないため、cot(π/2) を定義することはできない（ただし cot(π/2)=0）。sin⁻¹ の指数 −1 は通常逆正弦関数を指し、逆数ではない；1/sinθ を意味する場合は cosecθ と記すこと。
Interpret a new situation
- Sketch the base sine/cosine zeros first: these locate the reciprocal asymptotes. Values 1 and −1 are unchanged by taking a reciprocal. Split the domain at each excluded angle and never join branches through an asymptote. State the function’s domain before rearranging an equation involving its denominator.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
cosec(π/2) を求めよ。
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cosec(π/2)=1/sin(π/2)=1 である。
各逆関数を対応する除外される角度に合わせなさい。
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各逆関数は分母の零点から定義域を引き継ぎます。|sec| と |cosec| は1 以下になることはありません。
Use this in your course
- 7357 · A-level · E. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The reciprocal of cosine wherever cosine is nonzero. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.