All-angle definitions, exact values and periodic graphs
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | 単位円 |
車輪が直角を超えて回転する。半周以上回転した後の垂直位置を与える座標はどれか？
- 車輪が直角を超えて回転する。半周以上回転した後の垂直位置を与える座標はどれか？
- このImplementedでは**単位円（unit circle）**を学びます：座標原点を中心とする半径1の円です。
数学的構造を選択せよ
- 正のx軸からの有向角 θ に対して、単位円上の点は (cosθ,sinθ) であり、tanθ=sinθ/cosθ（cosθ≠0 のとき）である。正弦と余弦は周期 2π、値域 [−1,1] を持つ。正接は周期 π、全実数値の出力を持ち、垂直漸近線 θ=π/2+kπ（k は整数）を持つ。正弦と正接は奇関数、余弦は偶関数である。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why is sin(7π/6)=-1/2 rather than +1/2?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The unit-circle point at 7π/6 is (-√3/2,-1/2). The reference angle π/6 supplies the size 1/2 and the third quadrant supplies the minus sign.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
特殊三角形から (sinθ, cosθ) が得られる。0 では (0,1)、π/6 では (1/2,√3/2)、π/4 では (√2/2,√2/2)、π/3 では (√3/2,1/2)、π/2 では (1,0)、π では (0,−1) となる。除算して正接を求めるが、π/2 は除外する。基準角と象限の符号より、sin(7π/6)=−1/2、cos(4π/3)=−1/2、tan(3π/4)=−1 となる。完熟回転を引いてから象限を見つける：sin(19π/6)=sin(7π/6)。y=2 sin(3x−π)+1 において、振幅=2、周期=2π/3、中心線 y=1、値域 [−1,3]。3x−π=3(x−π/3) と書くと、右へ π/3 ずれる。
All-angle definitions, exact values and periodic graphs
For a signed angle θ from the positive x-axis, the unit-circle point is (cosθ,sinθ); tanθ=sinθ/cosθ where cosθ≠0
Explain each condition before using the corresponding trigonometric formula.
Find sin(7π/6) exactly as a decimal.
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7π/6 is in quadrant III; sine is −sin(π/6)=−1/2.
魅力的な近道を検証せよ
- 負の角は反時計回りである。自動的にその正弦を正にする必要はない。Tan(π/2)は非常に大きい有限数ではなく未定義である。入力周波数を倍増させて周期を短縮し、垂直シフトを加えても周期は変わらない。正弦曲線は常にy=0と交わるのではなく、中心線と交わる。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
正弦と余弦は、あらゆる入力角度に対して π ラジアンごとに繰り返すという主張は誤りです。この主張がどの定義や仮定に違反しているかを説明してください。
Find tan(3π/4).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
3π/4 is in quadrant II; tangent is −tan(π/4)=−1.
Sine and cosine repeat after π radians for every input angle.
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A negative angle is clockwise; do not automatically make its sine positive. Tan(π/2) is undefined rather than a very large finite number. Multiply the input frequency to shorten the period; adding a vertical shift does not change the period. The sine graph crosses its centre line rather than always crossing y=0.
新しい状況を読み解く
- 極点の全周期、対称性、周期に基づいてグラフを描く。cosθ には θ=0 に関する軸対称を、sinθ/tanθ には原点対称を用いる。正確な基準値を保持し、慣れない角度に小数が必要になる場合にのみ電卓を使用する。角度モードと定義域の区間を明記する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the maximum of y=2 sin(3x−π)+1.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Sine can reach 1, so 2×1+1=3.
Match each function property to the correct function.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
On the unit circle the point is (cos θ, sin θ); tangent is their ratio and blows up wherever cosine vanishes.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · E。拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラムを確認せよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
座標原点を中心とする半径1の円です。関係性を選び、手法を示し、仮定をチェックし、結果を解釈してください。