小角度近似とその限界
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | 近似値 |
A small turn moves a pointer almost sideways. When is replacing a trigonometric function by the angle itself accurate enough?
- A small turn moves a pointer almost sideways. When is replacing a trigonometric function by the angle itself accurate enough?
- This lesson studies approximation 近似: A nearby simpler value used with a stated accuracy limit.
Choose the mathematical structure
- When θ is close to zero and measured in radians, sinθ≈θ, tanθ≈θ and cosθ≈1−θ²/2. These are approximations, not identities. The discarded sine/tangent terms begin at order θ³; the discarded cosine term begins at order θ⁴. A smaller absolute angle usually improves these local approximations.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
角度が度で入力された場合、sin θ≈θの近似が成立しないのはなぜか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
小角の極限は弧長が半径×角度となるラジアン幾何学に由来する。度ではすべての値がπ/180倍に縮小するため、sin 1°≈1と書くのは約57倍の誤りとなる。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
At θ=0.1 radians, sinθ≈0.1 (actual 0.0998334), tanθ≈0.1 (actual 0.100335) and cosθ≈0.995 (actual 0.995004). Absolute errors are about 0.000167, 0.000335 and 0.00000417. For 6(1−cos x)=0.03, approximate 1−cos x by x²/2: 3x²≈0.03, so x≈±0.1 radians. Check the small-angle assumption after solving; substitution at x=0.1 gives 0.0299750 rather than exactly 0.03. Also sin(2x)/x≈2 for small nonzero x, while 1−cos(2x)≈2x².
小角度近似とその限界
θ が零に近くラジアン単位で測定されている場合、sinθ≈θ、tanθ≈θ、cosθ≈1−θ²/2 です。
対応する三角関数の公式を使う前に、各条件を説明してください。
小角度公式を使用して、sin(0.2ラジアン)を近似計算してください。
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θ=0.2ラジアンにおいて、sinθ≈θ
Test a tempting shortcut
- Degrees do not work in these formulas: sin(1°)≈π/180, not 1. Write ≈ rather than =. Subtraction can make relative error more important; preserve the θ² term in 1−cosθ. A ratio at θ=0 may be undefined even when its nearby limit exists.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The formula sinθ≈θ is equally valid for an angle entered in degrees. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
cos(0.2ラジアン)を近似計算してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
1−0.2²/2=0.98.
公式sinθ≈θは、角度を度で入力した場合でも同様に有効です。
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これらの式に度数法は使えません：sin(1°)≈π/180 であり、1 ではありません。= の代わりに ≈ を書きましょう。引き算では相対誤差がより重要になることがあります；1−cosθ の式で θ² 項を保持してください。θ=0 での比は定義されないことがありますが、その近傍の極限が存在する場合もあります。
Interpret a new situation
- Convert to radians first and identify the argument of each trig function: sin(3x)≈3x, not x. For a model, compare the approximation error with the precision required. If a solution is not small, use the original trigonometric equation; these formulas have no universal accuracy cutoff.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
ラジアン単位で 6(1−cos x)=0.03 の正の近似解を求めよ。
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3x²≈0.03 より x²≈0.01 となるため、正の解は 0.1 です。
各小角の近似式に対応して、最初に無視される項を記せ。
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これらは精度の限界を持つ近似であるため、記号≈を使用し、θはラジアンで保つ。また、引き算によって1項が消滅する場合は、θ²の項を残すこと。
Use this in your course
- 7357 · A-level · E. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A nearby simpler value used with a stated accuracy limit. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.