幾何級数、交互比率と収束
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 公比 |
交互的な支払いでも安定した累積総額が得られる。なぜ負の比が自動的に収束を妨げないのか？
- 交互的な支払いでも安定した累積総額が得られる。なぜ負の比が自動的に収束を妨げないのか？
- この授業では**公比（こうひ）**を学びます：ある項から次の項を得るための一定の倍率です。
数学的構造を選択せよ
- 初項 a、非ゼロの比 r において、u_n=ar^(n−1) です。r=0 の場合、項は a,0,0,… となり、初項における 0^0 という表現を避けます。r≠1 のとき、有限和は S_n=a(1−r^n)/(1−r) です。r=1 のときは na です。a が非ゼロの場合、|r|<1 のとき無限等比級数の和が存在し、その値は a/(1−r) です。負の比は符号を交互に変化させますが、収束はその大きさによって決まり、単に負であるかどうかが原因ではありません。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
a=6, r=-1/2 の級数が、符号が交互であるにもかかわらずなぜ収束するのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
収束を決めるのは比の大きさのみです：|r|=1/2<1 なので、項はゼロに近づき、総和は 6/(1+1/2)=4 です。符号は単に部分和が 4 上で交互に振動することだけを示します。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
a=6 および r=−1/2 のとき、項は 6, −3,3/2, −3/4,… である。最初の4項の和は 15/4=3.75 である。有限和の公式より S₄=6[1−(−1/2)^4]/(1+1/2)=15/4 となる。|r|=1/2<1, S infinity=6/(1+1/2)=4. The signed remainder is 4−S_n=4(−1/2)^n, so odd partial sums are above 4 and even partial sums below 4. For error below 0.01, require 4/2^n<0.01. At n=8 the error is 1/64>0.01 であるため、n=9 のとき 1/128<0.01 となり、条件を満たすのは最初に 9 項目である。
幾何級数、交互比率と収束
初項を a、公比を非ゼロ r とすると、u_n = ar^(n−1)
どの級数の公式が質問に答え、その条件が満たされているか確認する。
a=6 かつ r=−1/2 のとき、u₃ を求める。
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u₃=6(−1/2)²=6/4=1.5.
魅力的な近道を検証せよ
- 有限和の式において r=−1/2 を r=1/2 に置き換えてはいけません：n の奇偶性が重要です。非ゼロの a に対して、r=1 や r=−1 の場合、無限和の公式は適用できません。これらの項は零に収束しません。無限和が発散しても、有限和自体は存在する場合があります。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
公比が負である等比級数はすべて発散する。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
その前四項の和を求める。
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6−3+3/2−3/4=15/4=3.75.
負の比率を持つすべての幾何級数は発散する。
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有限公式において r=−1/2 を r=1/2 に置き換えないこと：n の偶奇性が重要である。無限和の公式は、非ゼロ a に対して r=1 や r=−1 で正当化できない。その項は零に収束しない。有限和は、その無限連続が発散する場合でも存在する可能性がある。
新しい状況を読み解く
- 公式を使う前に、まず最初の数項と部分和を直接確認せよ。|r|>1 で a が非ゼロの場合、項の絶対値は減少せず増加する。r=−1 のとき、部分和は a と 0 の間で交互に変化し、一つの値に近づかない。a=0 という零列は特異な例外であり、非ゼロ初項に対する収束の主張をそのまま適用してはいけない。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
その無限級数の和を求める。
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|r|<1 であるため、無限級数の和は 6/(1+1/2)=4 である。
各等比数列の量に対応する公式を結んでください。
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指数は n-1 であり、初項が r^0 を持つためです。r=±1 で項が減少しないため、無限級数の公式は正当化されません。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · D. エンデックス（追加課題）を割り当てる前に、対象となる層級とカリキュラム仕様書を確認して一致させてください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
ある項から次の項を得るための一定の倍率。関係性を選び、手法を示し、その前提条件を確認し、結果を解釈せよ。