等差数列とその逆問題
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 共通差 |
既知の2つの項から等差数列がわかります。指定された合計から、正確に何個の項を加算したかを知ることはできますか？
- 既知の2つの項から等差数列がわかります。指定された合計から、正確に何個の項を加算したかを知ることはできますか？
- この授業では**共通差分（ common difference ）**を学びます：各項に固定して加えられ、次の項を得るための量のことです。
数学的構造を選択せよ
- 初項を a、公差を d とすると、u_n=a+(n−1)d である。n 項の和は S_n=n[2a+(n−1)d]/2=n(a+u_n)/2 となる。最初の項と最後の項をペアにすると、すべてのペアの合計が一定になる。逆問題では、a, d 連立方程式を解くか、n について二次方程式を解く必要がある；項数は正の整数でなければならない。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
3n²+5n-350=0 を項数 n について解くと n=10 および n=-35/3 となる。なぜ 10 だけを維持するのか?
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項の数はカウント数であり、正の整数である必要があります。n=-35/3 は両方の条件を満たさず、四捨五入しても総和の公式 - S_10=175 を満たしません。直接確認してください。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
u₃=10 および u₇=22 が与えられたとき、a+2d=10 および a+6d=22 と書けます。引き算により d=3 、a=4 となり、u_n=3n+1 、S_n=n(3n+5)/2 となります。合計が 175 になる n を求めるには、3n²+5n−350=0=(n−10)(3n+35) を解きます。解は 10 と −35/3 ですが、正の整数となるのは n=10 だけです。u₁₀=31 および S₁₀=10(4+31)/2=175 を確認します。合計がちょうど 200 となる n は存在しません：S₁₀=175 および S₁₁=209 であり、これらの正の項により和は厳密に増加しています。
等差数列とその逆問題
初項を a、共通差を d とすると、u_n=a+(n−1)d
どの級数の公式が質問に答え、その条件が満たされているか確認する。
等差数列においてu₃=10かつu₇=22のとき、初項aを求めよ。
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二つの項の式を引いて4d=12を得て、次にa=10−2×3=4を計算せよ。
魅力的な近道を検証せよ
- n 番目の項と n 項の和は異なる概念です。n 番目の項には n 個の差分ではなく n−1 個の差分が含まれます。項数が正確な非整数解であっても四捨五入しないでください。目標以上の最初の合計を求める場合は、隣接する整数の合計も確認してください。すべての等差級数が部分和を増加させるわけではありません。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
正確な項数を求める非整数解は、常に最も近い整数に丸めることができるという主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明しなさい。
その共通公差dを求めよ。
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d=(22−10)/(7−3)=3.
正確な項数に対する非整数解は、常に最も近い整数に丸めることができる。
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第 n 項と n 項の和は異なる量である。第 n 項には n ではなく n−1 の差が含まれる。正確な項数の非整数解を丸めないこと。問題が目標値以上の最初の合計を問う場合は、隣接する整数の合計を確認すること。すべての等差級数が部分和を増加させるわけではない。
新しい状況を読み解く
- この数列において S_n≥200 となる最小の n は 11 であり、前の合計は 175 でした。問題が正確な合計を求めるのか、それとも閾値を求めるのかを明言しなさい。共通差分が負の場合でも和の公式は有効ですが、正の値や単調性の仮定は実際の項から検証する必要があります。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
この数列で合計が 175 となる項の数は何個か？
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和の方程式は (n−10)(3n+35)=0 と因数分解され、正の整数 10 を残す。
各等差数列の公式に対応する量を結んでください。
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第n項には n-1 の差があり、nではありません。逆問題は、総和に触れる前に a と d に対する連立方程式を解きます。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · D. エンデックス（追加課題）を割り当てる前に、対象となる層級とカリキュラム仕様書を確認して一致させてください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
各項に固定して加えられ、次の項を得るための量です。関係式を選び、手法を示し、仮定を検証し、結果を解釈しなさい。