Binomial expansion and valid approximations
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 二項係数 |
微小な変化は冪にどのように影響するか？
- 微小の変化が量のべき乗に影響を与える。展開式によって、一次および二次の項の大きさを示すことができる。
- この授業では二項係数を学ぶ：有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数である。
数学的構造を選択せよ
- n が正の整数の場合、(a+b)^n は有限の二項展開となる。n が非整数の場合、(1+x)^n を 1+nx+n(n-1)x²/2+... と展開し、|x|<1とする。この形を用いる前に定数を括り出すこと。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For the infinite expansion of (1+2x)^(-1), which condition is required?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The validity condition |u|<1 applies to the whole bracket term u=2x, so |x|<1/2. Using |x|<1 would wrongly accept x=0.9, where the series diverges.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵。 (1+x)^(-1 の場合、最初の3項は 1-x+x² であり、x=0.1 のとき、近似値は 0.91 となるが、正確な値 1/1.1≈0.909091 と異なる。
Binomial expansion and valid approximations
For positive integer n, (a+b)^n is a finite binomial expansion
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the coefficient of x² in (1+2x)^5.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Choose two of five factors and include 2²: C(5,2)×4=40.
魅力的な近道を検証せよ
- 2x に関する展開において、無限級数が成立するには |2x|<1 が必要であり、単に |x|<1 であるだけでは不十分です。正整数に関する展開は有限であり、そのような収束条件はありません。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての二項展開は、正の整数でない冪を含めて有限多項式である。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
Use 1-x+x² to estimate 1/(1+x) at x=0.1.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Substitute 0.1: 1-0.1+0.01=0.91.
Every binomial expansion is a finite polynomial, including powers that are not positive integers.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
An expansion in 2x requires |2x|<1 for the infinite series, not merely |x|<1. Positive-integer expansions are finite and do not have that convergence restriction.
新しい状況を読み解く
- 近似式 alongside 有効性の範囲を明記する。指定された精度を支える十分な項を残し、係数と x を含む項全体を区別せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
How many terms are in the full expansion of (a+b)^5?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The powers run from 0 through 5, giving six terms.
Match each expansion fact to its statement.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Positive-integer powers expand finitely with binomial coefficients; other powers give infinite series that converge only inside the validity interval.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · D. エンデックス（追加課題）を割り当てる前に、対象となる層級とカリキュラム仕様書を確認して一致させてください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。