Sequences, series and recurrence
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 公比 |
変化量は足し算ですか、それとも掛け算ですか？
- 貯蓄計画では毎週¥30が追加され、人口モデルでは毎年5%増加します。等しい差分と等しい比には、異なるモデルが必要です。
- この授業では公比を学びます：幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。
数学的構造を選択せよ
- 等差数列については、u_n=a+(n-1)d および S_n=n(2a+(n-1)d)/2 です。等比数列については、u_n=ar^(n-1) および S_n=a(1-r^n)/(1-r) です。無限等比級数が収束するのは |r|<1 の場合のみです。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
An infinite geometric series has a finite sum only when which condition holds?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The terms ar^(n-1) shrink towards zero only when |r|<1, so the sum converges to a/(1-r). With |r|≥1 the terms do not shrink and the sum diverges.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
a=5, d=3, n=8 のとき、u_8=5+7×3=26 であり、S_8=8(10+21)/2=124 です。a=12, r=1/2 のとき、無限和 S=12/(1-1/2)=24 です。u_(n+1)=2u_n+1 で u_1=1 の場合、次の項は 3,7,15 です。
Sequences, series and recurrence
For an arithmetic progression, u_n=a+(n-1)d and S_n=n(2a+(n-1)d)/2
Compare the model with the worked case and explain one change.
For a=5,d=3, find u_8.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
u₈=5+(8-1)×3=26.
魅力的な近道を検証せよ
- 初項の添字は 1 であるため、指数は n-1 となります。数列はリスト、級数は和です。等比数列は符号が交互であっても収束することがあります。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての幾何級数は、無限和として有限の値を持ちます。この主張は誤りです。どの定義や仮定を違反しているかを説明してください。
Find the sum of the first 8 terms with a=5,d=3.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
S₈=8[2×5+7×3]/2=124.
Every geometric series has a finite sum to infinity.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The first term has index 1, so the exponent is n-1. A sequence is a list; a series is a sum. A geometric sequence can alternate in sign and still converge.
新しい状況を読み解く
- 文脈が加法的変化か乗法的変化を正当化しているかを説明してください。金融においては、単一の預入金と複数の預入金の流れを区別して、和の公式を選ぶ必要があります。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the infinite sum with a=12,r=0.5.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Since |r|<1, S∞=12/(1-0.5)=24.
Match each formula to the quantity it gives.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Arithmetic sequences add a constant difference; geometric sequences multiply by a constant ratio; only a shrinking ratio gives a finite infinite sum.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · D. エンデックス（追加課題）を割り当てる前に、対象となる層級とカリキュラム仕様書を確認して一致させてください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。