Shifted circles, chords and tangents
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | 中心 |
展開された円の方程式の中心はどこにありますか？
- 展開された円の方程式は、その中心と半径を隠していることがあります。平方完成を行うことで、弦や接線に必要な幾何学的性質が明らかになります。
- この授業では中心について学びます：円周上のすべての点から等距離にある点です。
数学的構造を選択せよ
- 両方の平方を完成させることで、円の方程式を (x−a)²+(y−b)²=r² に書き換えます。中心から引いた垂線は弦を二等分するため、直角三角形を用いて半弦の長さが求められます。また、接線は接点において半径に垂直です。直径によって円周上で形成される角は 90° です。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For x²+y²-4x+2y-20=0, why is the centre (2,-1) rather than (-4,2)?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Halve the linear coefficients to complete each square: (x-2)² and (y+1)². The centre reads (2,-1) - the bracket constants carry reversed signs - and the radius² is 20+4+1=25.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
x²+y²−4x+2y−20=0 について、平方完成を行うと (x−2)²+(y+1)²=25 となる：中心座標は (2,−1)、半径は 5 である。弦 y=2 は中心から 3 上方にあり、その半分の長さは √(25−9)=4 であるため、端点座標は (−2,2),(6,2) となり、全長は 8 である。点P(5,3) における半径の傾きは 4/3 であり、接線の方程式は y−3=−3(x−5)/4 または 3x+4y=27 となる。直径の端点 A(−3,−1), B(7,−1) および円周上の点 T(2,4) において、傾き AT=1 および BT=−1 より、角ATB=90° が確認できる。
Shifted circles, chords and tangents
Rewrite a circle as (x−a)²+(y−b)²=r² by completing both squares
Match each coordinate calculation to its geometric or contextual condition.
Find the radius of x²+y²−4x+2y−20=0.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The completed equation has r²=4+1+20=25, hence r=5.
魅力的な近道を検証せよ
- 平方完成には定数項を加える必要があります。そのため、他の側も調整する必要があります。円の中心の座標は括弧内の定数の符号と逆になります。提案された接点の座標は必ず円の方程式を満たす必要があり、関係のない点での単なる直交だけでは不十分です。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
任意の半径に垂直な直線は、平面内のどこで交わっても自動的に接線となるという主張は誤りである。この主張がどの定義や仮定に反しているかを説明せよ。
Find the length of its chord y=2.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Half-length=√(25−3²)=4, so full chord length is 8.
A line perpendicular to any radius is automatically a tangent, wherever it crosses the plane.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Completing a square adds a constant: adjust the other side too. The circle’s centre has the opposite signs to the bracket constants. A proposed tangent point must lie on the circle; perpendicularity alone at an unrelated point is insufficient.
新しい状況を読み解く
- 各接点および両端の弦に対する半径の距離を確認します。平方完成後の r² が負の場合、実数の円は存在しません。一方、r²=0 の場合は非特異な円ではなく一点となります。水平または垂直な半径来处理する際は、ゼロで割る操作を避けてください。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
At P(5,3), find c in the tangent equation 3x+4y=c.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
At P, c=3×5+4×3=27.
Match each circle property to its consequence.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Half-chord length comes from the right triangle with the radius as hypotenuse; a tangent must be checked to touch the circle AT its stated point.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · C. エンデックス（追加課題）を割り当てる前に、対象となる層級とカリキュラム仕様書を確認して一致させてください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
円周上のすべての点から等距離にある点です。関係性を選び、方法を提示し、仮定を検証して結果を解釈してください。