パラメータ曲線、定義域および方向性
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | パラメータ |
時間を消去すると何が失われるか？
- 第三の変数が変化すると、二つの座標も共に変化する。その変数を消去すると、曲線のどの部分がトレースされたかが隠れてしまうことがある。
- この単元ではパラメータを学ぶ：一点の両座標を決定する変数である。
数学的構造を選択せよ
- x=f(t), y=g(t) のとき、一方の方程式から t を表現して（可能であれば）もう一方に代入する。パラメータの区間をデカルト曲線に移し、t が増加する方向を記号で示す。三角関数をパラメータに用いる場合は、恒等式を使い、符号または分岐の制限を維持すること。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
x=t², y=t のとき、t を消去して y=√x とすると、なぜ曲線の半分が失われるのか？
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二乗は符号を消す: -2≤t≤2 の範囲では y は正負両方の値を取り、x=y² となる。y=√x と書くことは暗に上半分のみを残すことを意味するため、定義域や枝は消去に伴って移る必要がある。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
x=2t+1, y=t²−2 かつ 0≤t≤3 の場合、t=(x−1)/2 を代入すると y=(x−1)²/4−2 となり、1≤x≤7 となる。点は (1,−2) から (7,7) へ移動する。x=t², y=t かつ −2≤t≤2 の場合、関係は x=y² であり、−2≤y≤2 となる：y の正負の両方が存在する。x=3cosθ, y=2sinθ かつ 0≤θ≤π の場合、x²/9+y²/4=1 かつ y≥0 であり、θを増加させると (3,0) から (−3,0) までの上半分をたどる。逆に、y=x² かつ −1≤x≤2 は、x=t, y=t² かつ −1≤t≤2 によってパラメータ化できる。
パラメータ曲線、定義域および方向性
x=f(t), y=g(t) において、可能であれば一方の式から t を表し、もう一方に代入する。
元のパラメータ、曲線の部分、および文脈上の仮定を保持している記述を特定する。
x=2t+1 について、t=3 のときの x を求める。
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x=2×3+1=7.
魅力的な近道を検証せよ
- x=t², y=t から y=√x と表すと、t が負の部分は失われる。デカルト方程式だけでは方向や元のパラメータ区間を記録しない。平方を行うことで符号の制限が消滅することがある。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
パラメータを消去すれば、常に元の定義域と方向が自動的に保存される。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反するかを説明せよ。
y=t²−2 について、t=3 のときの y を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
y=3²−2=7.
パラメータを消去することは、常に元の定義域と方向性を自動的に保持するわけではない。
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x=t², y=t から y=√x と書き換えると、t が負である部分が失われる。カルテシアン方程式だけでは、方向性や元のパラメータ区間を記録しない。二乗すると符号の制限が消去されることがある。
新しい状況を読み解く
- パラメータの値表を使って端点や中間点を概略図で描く。パラメータは同じ x 値や全点を再度通ることがある。パラメータ形式に戻す際は、元の方程式と区間を確認せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
x=t², y=t (t≤0) について、x=4 のときの y を求める。
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t≤0 かつ t²=4 であるため、t=−2 を選択します；よって y=−2 となる。
各パラメトリック要素の意味と対応させよ。
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カルテシアン方程式だけでは許容される区間や方向のいずれも記録しない；両者はパラメータの範囲から得られる。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · C. エンデックス（追加課題）を割り当てる前に、対象となる層級とカリキュラム仕様書を確認して一致させてください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
一点の両座標を決定する変数。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。