座標幾何学と接線
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 傾き |
How does a path's slope become an equation?
- A path rises 6 metres over a horizontal distance of 3 metres. Its gradient connects a diagram to an equation.
- This lesson studies gradient 斜率: The change in y divided by the corresponding change in x.
Choose the mathematical structure
- A line through (x₁,y₁) with gradient m has y-y₁=m(x-x₁). Parallel lines have equal gradients. Finite perpendicular gradients multiply to -1. A circle has (x-a)²+(y-b)²=r².
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
2本の非垂直な直線が互いに垂直であるとき、それらの傾きについて正しいものはどれか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
垂直な傾きの積は m₁m₂=-1: 互いの負の逆数である。傾きが等しい場合は平行線となる。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Through (2,5) with gradient 3, y-5=3(x-2), so y=3x-1. A perpendicular through the same point has y-5=-(x-2)/3. The circle (x-2)²+(y+1)²=25 has centre (2,-1) and radius 5.
座標幾何学と接線
(x₁, y₁) を通り、傾きが m の直線の式は y-y₁=m(x-x₁) です。
モデルと解答例を比較し、1つの違いを説明せよ。
(1,2) と (4,8) を通る直線の傾きを求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
傾き=(8-2)/(4-1)=6/3=2。
Test a tempting shortcut
- A vertical line has no finite gradient; do not force it into y=mx+c. Read the signs of a circle's centre carefully. The radius to a tangent is perpendicular to the tangent.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Perpendicular nonvertical lines always have equal gradients. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
y-5=3(x-2) の y切片を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
y-5=3x-6 と展開して y=3x-1 とする；切片は -1 である。
垂直で非垂直な直線は常に等しい傾きを持つ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
垂直線には有限の傾きがないため、y=mx+c に無理に当てはめないでください。円の中心の座標の符号を注意深く読み取ってください。半径と接線は互いに直交します。
Interpret a new situation
- Before solving a line-circle intersection, predict whether there are zero, one or two intersections. Substitution produces a quadratic whose discriminant checks the prediction.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
(x-2)^²+(y+1)^²=25 の半径を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
半径は 25 の正の平方根であり、すなわち 5 である。
y=mx+c の各要素の意味と対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
傾きは急さを表し、切片は位置を決定する；傾きが等しくても切片が異なれば交わらない。
Use this in your course
- 7357 · A-level · C. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The change in y divided by the corresponding change in x. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.