Fitting and refining a function model
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| residual/rɪˈsɪdʒuːəl/ | 残差 |
2つの異なる曲線モデルが同じ3つの測定値に適合する。これらを選択するために追加できる観測値は何か？
- 2つの異なる曲線モデルが同じ3つの測定値に適合する。これらを選択するために追加できる観測値は何か？
- この授業では**残差（residual）**を学ぶ：観測された出力値からモデルによる予測出力値を引いたもの。
数学的構造を選択せよ
- 入力、出力、単位、およびモデル化の定義域を記述する。指定された観測値を用いてパラメータをフィットさせ、独立した測定値との予測値を比較する。キャリブレーション点への完全な一致は、選ばれた関数が全域で正しいことを保証しない。残差は観測値から予測値を引いたものであり、モデルの改善には証拠と合理的な変更が必要である。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
The quadratic fits the arch points (0,0),(3,9),(6,0) exactly. Why is it not proven correct?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Both h=-x²+6x and the triangular model pass through the calibration points. The extra measurement at x=1 (5.2 m) favours the quadratic THERE - evidence, never a universal proof.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
提案されたアーチについて、xは水平距離、hは高さであり、どちらもメートル単位とする。例示点(0,0),(3,9),(6,0)を用い、0≤x≤6の範囲とする。h=ax²+bx+cとおくと、c=0、9a+3b=9、36a+6b=0より、a=−1、b=6となる。したがって h=−x²+6x=9−(x−3)² となり、最大値は9 mで、その位置は x=3 である。片線形近似 h=3x (0≤x≤3) および h=18−3x (3≤x≤6) も同じ3点に適合する。x=1 における例示追加測定値5.2 mにおいて、二次式の残差は0.2 m、片線形近似の残差は2.2 mとなる。これはその点においては二次式が適していることを示すものの、普遍的な結論ではない。
Fitting and refining a function model
State inputs, outputs, units and the modelling domain
Check the evidence and conditions behind a transformed or fitted function.
Find a in the fitted quadratic h=ax²+bx+c.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Subtract twice 9a+3b=9 from 36a+6b=0: 18a=−18, hence a=−1.
魅力的な近道を検証せよ
- フィッティングしたキャリブレーション点を独立検証として使用してはならない。0≤x≤6 の範囲外では、二次式は負の高さを与え、提案されたアーチを記述できなくなる。ある一点での残差が小さいからといって、全域での正確性が確立されるわけではない。単純なモデルは解釈しやすい場合があるが、曲率を見落とすことがある。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
3つのキャリブレーション点に適合する関数は、すべての入力に対して正しいことが証明される。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
Find its maximum modelled height in metres.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Complete the square: h=9−(x−3)², with maximum 9.
A function that fits three calibration points is proven correct at every input.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Do not use a fitted calibration point as independent validation. Outside 0≤x≤6, the quadratic can give negative height and no longer describes the proposed arch. A smaller residual at one point does not establish accuracy everywhere. The simpler model can be easier to interpret but still miss curvature.
新しい状況を読み解く
- 高さが最低でも8 mである場合、9−(x−3)²≥8 より2≤x≤4 が得られ、モデル化された水平幅は2 mとなる。このクリアランスに依存する前に、中間測定値をさらに収集し、測定の不確かさを推定せよ。厚みや形状の変化により、精密化された定義域や式が必要となる場合があり、どの観測値がその精密化の動機となっているかを説明せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the modelled horizontal width where h≥8, in metres.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The allowed interval is [2,4], with width 4−2=2 metres.
Match each model-fitting concept to its meaning.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Fitting and validating are different stages; a calibration point cannot validate its own model.
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
観測された出力値からモデルによる予測出力値を引いたもの。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認して結果を解釈せよ。