Composite functions and intermediate domains
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 合成関数 |
一台の機械の出力が別の機械の入力となる。許容される初期入力であっても、有効でない中間値を生むことがある。
- 一台の機械の出力が別の機械の入力となる。許容される初期入力であっても、有効でない中間値を生むことがある。
- この授業では**合成（コンポジション）**を学ぶ：ある関数の出力に別の関数を適用し、指定された順序で行うこと。
数学的構造を選択せよ
- ここでの fg は g に f を合成したものであり、fg(x)=f(g(x))であり、掛け算ではない。まず g を適用する。合成された入力は内側の関数の定義域に含まれ、その出力は外側の関数の定義域に含まれる必要がある。一般に、fg と gf は異なる式および異なる定義域を持つ。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For f(x)=√(x-2) and g(x)=1/(x-1), why is fg(6) undefined even though g(6) exists?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A composite input must survive BOTH stages: the inner function’s domain and then its output must lie in the outer function’s domain. Checking only the inner domain misses the second condition.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
f(x)=√(x−2) (x≥2)、g(x)=1/(x−1) (x≠1) とする。このとき fg(x)=√(1/(x−1)−2) となる。1/(x−1)≥2 が必要である。負の分母はこの正の下限を満たせない。x>1 のとき、両辺に x−1 を掛けると不等号の向きが変わらず、x≤3/2 が得られる。したがって定義域は 1<x≤3/2 である。逆順では gf(x)=1/(√(x−2)−1) となる。x≥2 かつ √(x−2)≠1 が必要なので、x≠3 となる。定義域は [2,3)∪(3,∞) である。x=6 において gf(6)=1 であるが、fg(6) は実数ではない。
Composite functions and intermediate domains
Here fg means f composed with g: fg(x)=f(g(x)), not multiplication
Use domains to justify inverse and composite function steps.
Find gf(6) for the worked functions.
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f(6)=√4=2, then g(2)=1/(2−1)=1.
魅力的な近道を検証せよ
- 内側の定義域だけをチェックして是不够的。符号を決定する前に不等式の両辺に x−1 を掛けてはいけない。除外される中間の分母は、別の形の方が単純に見えても除外され続ける。式と定義域を合わせて初めて合成関数が定義される。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
合成関数は内側の関数が定義されているどこでも定義される。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
Find the included upper endpoint of the domain of fg.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
For x>1, 1≥2(x−1) gives x≤3/2=1.5.
A composite is defined wherever its inner function is defined.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Checking only the inner domain is insufficient. Do not multiply the inequality by x−1 before deciding its sign. An excluded intermediate denominator remains excluded even if another form appears simpler. A formula and domain together define the composite function.
新しい状況を読み解く
- 中間値を追跡する：gf(6) は f(6)=2 そして g(2)=1 を用いる。fg(5/4) については、g(5/4)=4 そして f(4)=√2 となる。x=3 において f(3)=1 は有効だが、g(1) は未定義なので gf(3) も未定義である。区間表記で保留または除外される端点をすべて記号化せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the excluded input within x≥2 for gf.
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The outer denominator is zero when √(x−2)=1, giving x=3.
Match each composition condition to the stage it constrains.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
fg means apply g first; the full domain is the set of inputs passing both tests, here 1<x≤3/2.
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
ある関数の出力に別の関数を適用し、指定された順序で行う。関係性を選び、方法を示し、前提条件を確認し、結果を解釈せよ。