平方完成と二次構造
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| completed square/kəmˈpliːtɪd skweə/ | 平方完成形 |
A quadratic model reaches a lowest value. Which form tells us where it happens without drawing every point?
- A quadratic model reaches a lowest value. Which form tells us where it happens without drawing every point?
- This lesson studies completed square 配方形式: A quadratic written as a multiple of a squared bracket plus a constant.
Choose the mathematical structure
- For x²+bx, add and subtract (b/2)² to obtain (x+b/2)²−(b/2)². If the leading coefficient a is not 1, factor a from the x² and x terms first. The form a(x−h)²+k gives vertex (h,k), axis x=h, and a minimum k if a>0 or a maximum k if a<0.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
2x²-12x+11 において、なぜ最小値 -7 は x=3 で生じるのか、x=6 ではないのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
係数を半分にする操作は括弧の内部で行う必要がある：x²-6x を半分すると (x-3)² となる。平方は非負であるため、最小値は定数 -7 であり、これは x=3 で達成される。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
2x²−12x+11=2(x²−6x)+11=2[(x−3)²−9]+11=2(x−3)²−7. Its minimum is −7 at x=3. To solve 2x²−12x+11=0, obtain (x−3)²=7/2, so x=3±√(7/2). The roots lie equally far from x=3. In general ax²+bx+c=0 becomes (x+b/(2a))²=(b²−4ac)/(4a²), for a≠0, leading to x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). A negative discriminant means no real roots; zero gives one repeated root.
平方完成と二次構造
x² + bx に対して、(b/2)² を加えて引き、(x + b/2)² − (b/2)² を得る。
二次方程式の解法における最初の有効または無効な手順を特定する。
2x² − 12x + 11 の最小値における x 座標を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
頂点は x = −b/(2a) = 12/4 = 3。
Test a tempting shortcut
- Half the coefficient inside the factored bracket, not the original coefficient of x. Keep the outside multiplier when subtracting the added square. A positive squared bracket does not imply the whole quadratic is positive: its constant can be negative.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A completed-square expression always represents a quadratic with a minimum. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
その最小値を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x = 3 のとき、y = 18 − 36 + 11 = −7。
平方完成された式は、常に最小値を持つ二次関数を表す。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
括弧内の係数の半分であり、元の x の係数ではない。足した平方を引く際、外側の定数倍は残す。正の二乗括弧であっても、全体の二次式が正であるとは限らない: 定数項が負になることがある。
Interpret a new situation
- For the same model, y≤1 becomes 2(x−3)²≤8, giving 1≤x≤5. Check both endpoints. A contextual restriction such as x≥0 must be combined with this interval. For y=−2(x−3)²+7, the same vertex x-coordinate gives a maximum instead of a minimum.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
2x² − 12x + 11 = 11 の大きい解を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
y = 11 とおくと: 2x(x − 6) = 0 なので、大きい根は 6。
a(x-h)²+k の各完成平方の性質と、その意味を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
完成平方は頂点を直接明らかにし、式をゼロとおくことで二次方程式の解の公式へと導かれる。
Use this in your course
- 7357 · A-level · B. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A quadratic written as a multiple of a squared bracket plus a constant. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.