Surds and conjugate denominators
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | 共役式 |
正確な長さは1/(√5−2)である。丸めずに分母の根号を取り除くことはできるか？
- 正確な長さが 1/(√5−2) である。小数点切り捨てなしで分母から根号を取り除くことはできるか？
- この授業では共役を学ぶ：2項間の符号が逆転された対の式である。
数学的構造を選択せよ
- 非負の a と b に対して、√a×√b=√(ab) だが、√(a+b) は一般的に √a+√b ではない。根号の因数提取して簡略化せよ。2項の分母に対しては、分子と分母にその共役を掛け合せる: (a+b√c)(a−b√c)=a²−b²c。元の分母と共役の倍数因子はどちらもゼロでなければならない。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why is √((-3)²) equal to 3 and not -3?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(-3)²=9 and √9=3 by the principal-root convention. Writing √(x²)=x fails for every negative x; the absolute value is required.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
√72−√8=6√2−2√2=4√2。1/(√5−2)に対して、(√5+2)/(√5+2)を掛けると、分母は5−4=1となり、結果は√5+2となる。3/(2+√3)に対して、2−√3を掛けて3(2−√3)/(4−3)=6−3√3を得る。元の分母と組み合わせて正確な結果を確認する。
Surds and conjugate denominators
For nonnegative a and b, √a×√b=√(ab), but √(a+b) is generally not √a+√b
Check the conditions behind each index or surd manipulation.
Find the coefficient of √2 in √72−√8.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Extract squares: 6√2−2√2=4√2.
魅力的な近道を検証せよ
- 共役はすべての符号を変えるのではなく、1つの符号を変えます。分子も掛け算してください。和の二乗には項の交差が生じます：(2+√3)²=7+4√3。実数 x について、√(x²)=|x| なので、√((−3)²)=3。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての実数 x について、√(x²)=x とします。この主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明してください。
Find the coefficient of √3 in 3/(2+√3) after rationalising.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Multiply by 2−√3; the denominator is 1 and the numerator is 6−3√3.
For every real x, √(x²)=x.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The conjugate changes one sign, not every sign. Multiply the numerator too. Squaring a sum produces a cross term: (2+√3)²=7+4√3. For real x, √(x²)=|x|, so √((−3)²)=3.
新しい状況を読み解く
- 小数が要求されるまで、正確な根号式を維持してください。 simplification（簡略化）後においてのみ、同様の根号式をまとめます：√18+√8=5√2 ですが、√2+√3 は一つの単純な根号式にまとめられません。共役がゼロの場合、この乗算因子は無効です。元の分母を直接簡略化し、その分母がゼロかどうかを確認してください。例えば 1/(2+sqrt(4))=1/4 は、提案された共役がゼロであっても有効です。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Evaluate √((−3)²).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The principal square root of 9 is 3.
Match each surd operation to its result.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The conjugate flips one sign so the product loses its surd part; multiply numerator by the same conjugate to preserve the value.
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
2つの項の間の符号を反転させたペアされた式。関係性を選び、手法を示し、仮定を検証し、結果を解釈してください。