有理指数と実定義域
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| rational exponent/ˈræʃənl ekˈspəʊnənt/ | 有理指数 |
立方体の体積は元の体積の27倍になる。なぜ辺の長さは3倍しか増えないのか？
- 立方体の体積は元の体積の27倍になる。なぜ辺の長さは3倍しか増えないのか？
- この授業では有理指数を学ぶ：整数の分数として書かれた指数である。
数学的構造を選択せよ
- 正の底 a に対して、a^(p/q) は a の p 乗の q 乗根であり、q は正である。負の指数は逆数をとるため、底はゼロでなければならない。まず p/q を約分せよ。負の実数の底の場合、約分した奇数の分母は実根を許容するが、偶数の分母は許容しない。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
なぜ x^(2/3)=4 は実数解が2つあるのに、x^(1/2)=-2 は解がないのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
u=∛x とおくと、u²=4 より u=±2 となる。したがって x=±8 となり、どちらも実数である（奇数次根は負の値も許容する）。平方根は主値であり非負であるため、-2 に等しいことは決してない。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
27^(2/3)=(cube root of 27)²=9、一方、16^(−3/4)=1/(fourth root of 16)³=1/8。実数におけるx^(2/3)=4について、uをxの立方根とする：u²=4、よってu=±2かつx=±8。両方の入力を検証できる。対照的に、x^(1/2)=−2には実の解がない。なぜなら主平方根は非負だからである。負の底については、(−8)^(1/3)=−2および(−8)^(2/3)=4である。
有理指数と実定義域
正の底 a に対して、a^(p/q) は q が正のとき、a の p 乗の q 乗根である
各根号や累乗変形背后的の条件を確認する。
16^(−3/4) を計算する。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
16 の四乗根は 2；その立方は 8 なので、逆数をとれ。
魅力的な近道を検証せよ
- 負の指数を負の答えに変えてはいけない。奇数次根号の平方において負の解を破棄してはいけない。正の底以外の範囲では、一般の累乗の累乗操作は成立しない：((−1)²)^(1/2)=1 であるが、(−1)^(2×1/2)=−1 である。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
方程式 x^(2/3)=4 の解は x=8 のみである。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
x^(2/3)=4 の負の実解を求める。
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u を x の立方根とする。負の解 u=−2 は x=−8 を与える。
方程式 x^(2/3)=4 の解は x=8 のみである。
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負の指数を負の数に変換しないでください。奇数次根号が平方される際、負の解を捨てないでください。正の底以外の一般累乗の操作は失敗することがあります: ((−1)²)^(1/2)=1 であるのに対し、(−1)^(2×1/2)=−1 です。
新しい状況を読み解く
- 長さおよび体積に対して正のスケール因子を使用する：体積比 27 が辺の比 27^(1/3)=3 および面積比 27^(2/3)=9 を与える。方程式では実数領域を明記し、候補をすべて代入せよ。負のべきにおけるゼロは未定義である；この授業では 0^0 に値を割り当てない。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
(−8)^(2/3) を計算する。
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−8の実数立方根は−2であり、その二乗は4です。
各有理指数に対応する評価値を結びつけよ。
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既約分数の分母はまず根を取る；負の指数は逆数を表す；実数計算において偶数の分母は負の底を禁じる。
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
整数の分数として書かれた指数。関係性を選び、手法を示し、仮定を検証し、結果を解釈せよ。