一次および二次連立方程式
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| simultaneous solution/ˌsɪməlˈteɪnɪəs səˈluːʃn/ | 連立解 |
How many places can a line meet a parabola?
- A line can cut a parabola twice, touch it once or miss it. An algebraic solution should give the same number of real intersection points as the sketch.
- This lesson studies simultaneous solution 联立解: An ordered pair that satisfies every equation in a system at the same time.
Choose the mathematical structure
- For two linear equations, eliminate one unknown or substitute an expression for it. For one linear and one quadratic equation, express y from the line and substitute into the quadratic. Solve every resulting root, find its matching y and check both original equations.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
直線y=4x-6はy=x²-2と交わり、(x-2)²=0となる点で出会う。この重複根の幾何学的意味は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
重複根は曲線に接して交わる点がちょうど一つ生じる。正の判別式であれば二つの交点が生じ、y=4x-7の負の判別式であれば交点は生じない。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For 3x+2y=13 and x−y=1, add twice the second equation to the first: 5x=15, so x=3 and y=2. For x+y=4 and y=x²−2, substitute y=4−x: x²+x−6=0=(x−2)(x+3). The solutions are (2,2) and (−3,7). The line y=4x−6 instead gives (x−2)²=0, so only (2,2): a tangent. The line y=4x−7 gives x²−4x+5=0 with discriminant −4, so no real intersection.
一次および二次連立方程式
2つの一次方程式の場合、未知数を1つ消去するか、その表現式を代入する
代数的根を対応する座標およびグラフ上の交点数に結びつける
x+y=4 および y=x²−2 であるとき、正の解 x を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x²+x−6=(x−2)(x+3) と因数分解できる。この正の解は 2 である。
Test a tempting shortcut
- A root for x is not a complete simultaneous solution. Pair each x with its own y; do not combine one root with another root’s output. A repeated quadratic root gives one point, not two different points.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every system of two equations has exactly one real simultaneous solution. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
上記の連立方程式において、x=−3 のときの y の値を求めよ。
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x=−3 を代入すると、y=9−2=7 となり、また −3+7=4 となる。
2つの方程式からなるすべての系には、ちょうど1つの実連立解が存在する
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x の根は完全な連立解ではない。各 x に自身の y を対にすること。異なる根の出力を組み合わせないこと。重複した二次の根は2つの異なる点ではなく、1つの点を表す
Interpret a new situation
- Use the discriminant to distinguish two, one or no real intersections. The sketch helps predict the result, but substitutions into both original equations verify it. Preserve any restrictions if a more general system involves fractions.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
y=x²−2 と y=4x−6 の実の交点はいくつあるか。
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整理した方程式は (x−2)²=0 であり、重解により異なる点は1つである。
各直線と曲線の結果を対応する代数的符号に割り当てる。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
一次関係を二次式に代入し、各xの解にそれぞれ対応するyをペアにする；解を混同してはいけない。
Use this in your course
- 7357 · A-level · B. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
An ordered pair that satisfies every equation in a system at the same time. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.