部分分数分解における重複一次因子
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | 重複因数 |
二乗因子にはなぜ2項が必要か？
- 二乗因子には2つの独立した項が必要である。二乗の項だけを維持すると、分子を再現するための係数が不足する可能性がある。
- この授業では重複因子を扱う：より多く繰り返される分母因子であり、各べき乗ごとに項が必要である。
数学的構造を選択せよ
- 重複因子 (x+a)² に対しては、A/(x+a)+B/(x+a)² を含める。異なる因子 x+b がある場合は C/(x+b) を加える。分母を払って便利な係数を見つけ、残りの未知数については別の代入値または係数比較を用いる。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
(x+1)²(x+2)に対して、A/(x+1)とB/(x+1)²の両方が必要なのはなぜか。片方だけでは不十分か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
B/(x+1)²+C/(x+2)のみでは分母を払ってもすべての係数を一致させられない。A/(x+1)+B/(x+1)²+C/(x+2)の完全なセットを用いれば、2x+3=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)²が解け、B=1, C=-1, A=1となる。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
(2x+3)/[(x+1)²(x+2)] について、恒等式は 2x+3=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)² である。x=−1 のとき B=1。x=−2 のとき C=−1。xの²次係数は A+C=0 を与えるため、A=1 となる。結果は 1/(x+1)+1/(x+1)²−1/(x+2) であり、x≠−1, −2。x=0 のとき両辺とも 3/2 となり、再結合によりすべての許容されるxについて分子は 2x+3 となる。
部分分数分解における重複一次因子
重複因数 (x+a)² の場合、A/(x+a)+B/(x+a)² を含める
代数的な手順を分類し、それぞれの決定の背後にある恒等式や定義域の条件を特定せよ。
計算例での分解において、二乗因子の係数 B を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
恒等式において x=−1 のとき、1=B となる。
魅力的な近道を検証せよ
- 一次の項を省略したり、各一次因子の上に Ax+B を置いたりしてはいけない。ある一点での数値的一致は検証に過ぎず、恒等式の証明ではない。二乗は独自に分母に保持する。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての分母 (x+1)²(x+2) について、(x+1)² に1項、x+2 に1項あれば常に十分である。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
1/(x+2) の係数 C を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x=−2 のとき、−1=C となる。
各分母 (x+1)²(x+2) について、(x+1)² 上の項と x+2 上の項があれば常に十分である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
一次項を省略してはいないか、あるいは各一次因子に Ax+B を配置していないか確認する。ある一点での数値的一致は検証に過ぎず、恒等式の証明ではない。平方项は独立した分母に残す。
新しい状況を読み解く
- 7357 は二乗一次因子を許容し、部分分数の項は最大3個までとする。再結合後にすべての分子の係数を確認せよ。 higher powers および不可約二次因子は本単元の出題範囲外である。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
1/(x+1) の係数 A を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x² の係数が ⟨0=A+C⟩ を与える；C=−1 であるため、A=1 となる。
各分母の因子に対応する部分分数の項を割り当てる。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
重複因子の各乗数は独立した定数分子を持つ；一次式Ax+Bは不可約二次式の上に乗るものであり、ここでは用いない。
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
より多く繰り返される分母因子であり、各べき乗ごとに項が必要である。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。