Partial fractions with distinct linear factors
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| partial fraction/ˈpɑːʃl ˈfrækʃn/ | 部分分数 |
一つの分数をより簡単な分数の和に変形できるか？
- 二つの一次分母の積は、二つのより単純な寄与を隠しています。それらを分離すれば、後の積分や方程式処理が容易になります。
- この授業では部分分数を学びます。元の定義域においてある有理式に等しい、より単純な分数の和です。
数学的構造を選択せよ
- 真分式に対しては、異なる一次因子A/(x+a)+B/(x+b)を用いる。分母を取り払って多項式の恒等式を得てから、便利な根を代入するか係数を比較する。分子の次数が分母より大きくない場合は、最初に割り算を行う。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
After clearing denominators in 3x+5=A(x+2)+B(x+1), why may x=-1 be substituted despite the original fraction excluding it?
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Clearing denominators converts a rational equation into a polynomial identity holding for every input, so the convenient roots x=-1 and x=-2 give A=2 and B=1 instantly. The original fraction still excludes those inputs.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
(3x+5)/[(x+1)(x+2)] について、3x+5=A(x+2)+B(x+1) とおく。x=−1 のとき A=2、x=−2 のとき B=1。したがって部分分数分解は 2/(x+1)+1/(x+2)、x≠−1, −2。3つの因子を持つ場合、(3x+1)/[x(x+1)(x+2)]=1/(2x)+2/(x+1)−5/[2(x+2)]。分母を払って x=0, −1, −2 を用いると、A=1/2, B=2, C=−5/2 となる。
Partial fractions with distinct linear factors
For proper rational expressions, use A/(x+a)+B/(x+b) for distinct linear factors
Classify the algebraic steps and identify the identity or domain condition behind each decision.
For (3x+5)/[(x+1)(x+2)], find A in A/(x+1)+B/(x+2).
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At x=−1 in the cleared identity, 2=A.
魅力的な近道を検証せよ
- 分母を消去後に用いる根は、元の分数ではなく生成された多項式恒等式において有効である。除外される入力値はすべて保持すること。係数は負またはゼロ也可以是。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
分母を取り払った後、除外された入力値は元の分数の有効な入力値となるという主張は誤りである。どの定義または仮定を違反しているかを説明せよ。
Find B in the same decomposition.
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At x=−2 in the cleared identity, −1=−B, hence B=1.
Once denominators are cleared, their excluded inputs become valid inputs of the original fraction.
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The roots used after clearing denominators are allowed in the resulting polynomial identity, not in the original fraction. Retain all excluded inputs. A coefficient can be negative or zero.
新しい状況を読み解く
- 単一の数値入力だけでなく、すべての項を再結合して係数を比較することで検証せよ。7357では、ここでは分子が定数または一次であり、分解は3項を超えない。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the coefficient of 1/x for (3x+1)/[x(x+1)(x+2)].
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At x=0 in the cleared three-factor identity, 1=2A, hence A=1/2.
Match each partial-fraction step to its purpose.
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Divide first if the fraction is improper; the decomposition equals the original on its whole original domain, exclusions included.
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
和が元の定義域における有理式に等しい、より単純な分数。関係性を選び、方法を提示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。