Algebraic fractions and excluded values
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| excluded value/eksˈkluːdɪd ˈvæljuː/ | 除外値 |
約分した分数は直線のように見えるものの、まだ1つの欠けた点を持つことがあります。因数を約分しても、元の式に未定義の入力を戻すものではありません。
- 約分された分数は直線のように見えても、未定義の点が一つ残っています。約分によって、元の式に含まれていた未定義の入力を再導入することはできません。
- この授業では除外値を学びます。元の分母または除数がゼロになる入力です。
数学的構造を選択せよ
- 共通因子を約分する前に、分子と分母をすべて因数分解してください。加算で結ばれた項は約分可能な因子ではありません。除外値はまず元の式から記録してください。加減算の場合、分母を揃え、分子全体のカッコを残したまま進めます。因数分解した分子と分母を掛け合わせます。除法の場合、逆数を掛けて掛け算し、除数がゼロになる入力を除外するとともに、元の分数のいずれかの分母がゼロになる入力も除外してください。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For F(x)=(x²-9)/(x-3), why is F(3) undefined even though the simplified form x+3 gives 6?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
F(x)=x+3 holds only where the original expression exists: x≠3. At x=3 the original divides by zero, so 6 is the limit-like value of the simplified form, not F(3). Exclusions must be recorded before cancelling.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
F(x)=(x²-9)/(x-3) において、x²-9=(x-3)(x+3) と因数分解できる。したがって F(x)=x+3 （x≠3）。F(5)=8 だが、F(3) は未定義であり、6 ではない。加法については、1/(x-1)+2/(x+1)=[(x+1)+2(x-1)]/[(x-1)(x+1)]=(3x-1)/(x²-1)、ただし x≠±1。x=3 のとき、両方の形式は1 を与える。減法については、分子は (x+1)-2(x-1)=3-x となるため、マイナス記号は両方の項に作用する。乗法 [(x-1)/(x+2)]×[(x+2)/(x+1)] は (x-1)/(x+1) を与えるが、元の式は x=-2 および x=-1 を除外する。除法 [(x²-1)/(x²+3x+2)]÷[(x-1)/(x+2)] は1 を与えるが、x=-2,-1,1 は除外される：x=1 のとき除数がゼロになる。最後に F(x)=6 は x+3=6 に帰着する。唯一の候補 x=3 は禁止されているため、この方程式には解はない。報告する前に、候補が元の方程式を満たすか確認せよ。
Algebraic fractions and excluded values
Factor every numerator and denominator before cancelling a common factor
Classify the worked-case statements, then explain the units or invariant that justifies each decision.
For F(x)=(x²-9)/(x-3), find F(5).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
5 is allowed; after factor cancellation, F(5)=5+3=8.
魅力的な近道を検証せよ
- (x+2)/x の x を約分してはいけない。簡略化された分母は元の制限すべてを示さない。除法の問題では、除数が零になる場合を確認せよ。分数の等置（クロス multiplication）は除外される候補を生むことがあり、形式的な解は自動的に解とは限らない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
分母の因子を約分することで、常にその除外入力が有効になります。この主張は誤りです。どの定義や仮定に違反するか説明してください。
Find 1/(x-1)+2/(x+1) at x=3.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
1/2+2/4=1, agreeing with(3x-1)/(x²-1).
Cancelling a denominator factor always makes its excluded input valid.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Never cancel the x in (x+2)/x. A simplified denominator does not show all original restrictions. In a division task, check when the divisor is zero. Cross-multiplication can produce an excluded candidate; a formal root is not automatically a solution.
新しい状況を読み解く
- 7357 B6 は有理式の操作、約分、および一次式による代数的除法を扱います。元の制限（零除数の除外を含む）を明記し、すべての方程式候補を元の定義域で確認してください。不真分式に対しては多項式除法との併用を推奨します。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
How many allowed solutions does (x²-9)/(x-3)=6 have?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The only reduced-equation candidate is3; the original denominator is zero there.
Match each algebraic-fraction operation to its rule.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Exclusions come from every original denominator and every divisor; a simplified result keeps them all.
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
元の分母または除数がゼロになる入力です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。