多項式の除法、余り、および因数
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 因式定理 |
片方の解が如何にして三次方程式を開くか？
- 三次曲線は既知の点で軸と交わります。その解を使うことで、他の解を推測することなく、三次方程式を二次方程式に降次できます。
- この授業では因数定理を学びます: P(a)=0 であるとき、x−a が多項式 P(x) の因数であるという命題です。
数学的構造を選択せよ
- P(x)=(x−a)Q(x)+R と書き、R は定数です。x=a を代入すると R=P(a) が得られます。最高次の項を割り、全体を除数に掛け、括弧付きで引いて繰り返します。欠けているべき乗の係数0を含めてください。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
なぜ P(1)=0 が x-1 を P(x) の因数であることを示すのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
P=(x-a)Q+R に x=a を代入すると商項がゼロになり、R=P(a)が残る。余りがゼロであれば完全な除法であり、これが因数定理の動作である。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
P(x)=x³−2x²−5x+6 を x−1 で割ると、商 Q(x)=x²−x−6 、余り 0 となります。実際に (x−1)(x²−x−6)=P(x) です。Q を因数分解して (x−3)(x+2) とすると、解は 1,3, −2 です。同じ P を x−2 で割ると、商 x²−5 、余り −4 となります: P=(x−2)(x²−5)−4 。よって P/(x−2)=x²−5−4/(x−2) であり、x≠2 です。
多項式の除法、余り、および因数
P(x)=(x−a)Q(x)+R （R は定数）と表せ。
代数的な手順を分類し、それぞれの決定の背後にある恒等式や定義域の条件を特定せよ。
P(x)=x³−2x²−5x+6 において、P(1) を求めよ。
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P(1)=1−2−5+6=0.
魅力的な近道を検証せよ
- x−a の signs に注意が必要です: x+2 の場合、P(−2) を確認してください。ゼロでない余りは消えません。各除法ステップで全積を引き算し、括弧を省略すると signs が変わります。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
P(a) がゼロでない場合でも、x−a は P の因数である。この主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明してください。
P を x−2 で割った余りを求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
R=P(2)=8−8−10+6=−4.
P(a) がゼロでない場合でも、x−a は P の因数仍是。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x−a における符号は重要である：x+2 の場合、P(−2) をテストすべきである。ゼロでない余りは消滅しない。各除法ステップで積全体を引くこと。括弧を省略すると符号が変わる。
新しい状況を読み解く
- 商を検証するには、除数×商＋余りを展開してください。因数分解は P(x)=0 を解くのに使えますが、有理式の除法では元の除外された入力すべてを保持する必要があります。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
x²−x−6 を x=4 で評価せよ。
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Q(4)=16−4−6=6.
各除法の概念に対応する記述を結びつけよ。
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符号に注意：x+2 は P(-2) の検証に対応する。ゼロでない余りは最終的な式に残る。
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・B. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
P(a)=0 であるとき、x−a が多項式 P(x) の因数であるという命題です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。