帰納法、矛盾、反証
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| counterexample/ˈkaʊntəreɡzæmpl/ | 反例 |
パターンが証明となるのはいつか？
- いくつかの整数を確認することでパターンが示唆される。そのパターンをすべての整数に対する証明に変えるものは何か？
- この授業では反例を学ぶ：普遍的な主張を否定する単一の有効な事例である。
数学的構造を選択せよ
- 帰納的証明は明示された定義や仮定から始まる。反例は全値に関する主張を反証する。背理法の場合、逆を仮定して不可能性を導き出す。尽し法の場合、有限かつ完全なリストのすべてのケースを確認する。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
なぜ n=41 は「正整数 n について n²+n+41 は素数である」という主張を否定するのか？
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全称命題は反例1つで崩れる。n=41 のとき値は 41×43 となり 41 で割り切れるため素数ではない。追加のケースは不要である。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
奇整数 2a+1 と 2b+1 の和は 2(a+b+1) となり、したがって偶数である。n²+n+41 が常に素数であることを否定するには、n=41 を用いる：その値は 41×43=1763 となる。√2 が無理数であることの背理法において、既約分数 √2=p/q と仮定すると、p²=2q² は p と q の両方が偶数であることを強制し、既約分数という前提に矛盾する。
帰納法、矛盾、反証
帰納的証明は明示された定義や仮定から始まる
すべての整数に対する証明と counterexample の証明を区別せよ。
n=41のとき、式 n²+n+41 の値を求めよ。
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n=41 のとき、その値は 41²+41+41=41×43=1763 である。
魅力的な近道を検証せよ
- 結論を証明する際に結論を仮定してはいけない。背理法では、不可能な帰結を特定し、最初の逆の仮定を棄却する。帰納法はAQA 7357では必須ではない。それは独自の適切なFurther Mathematicsのカリキュラムに含まれる。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
最初の10個の整数を確認することは、すべての正の整数に対する主張を証明する。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
2a+1 と 2b+1 の和を求めよ。ただし、a=3, b=4とする。
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2つの奇整数は 7 と 9 であり、それらの和は 16 である。
最初の10個の整数を確認することは、すべての正の整数に対する命題の証明となる。
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証明中に結論を仮定してはならない。帰謬法では、あり得ない帰結を特定し、最初の反証假设を却下する。帰納法はAQA 7357 で必須ではない。それは独自の適切な追加数学（Further Mathematics）の範囲に属する。
新しい状況を読み解く
- AQAの証明には帰納的推論、完全帰納法および反証が含まれる。IAL P2では完全帰納法と反例が導入され、P4では反証が導入される。名付けられた単元に合わせて手法を選択すること。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
1+2+…+20 を求めよ。
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端点をペアにする：20 個の項の平均は 10.5 であり、20×10.5=210 が得られる。
各証明方法をその構造と対応させよ。
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各方法には固有の構造が必要であり、多くのケースを確認することは証拠ではあるが、全称命題の完全な証明にはならない。
コースでこれを使用する
- 7357 ・Aレベル・A. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させること。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
全体的な主張を否定する単一の有効なケース。関係性を選び、手法を示し、仮定をチェックし、結果を解釈せよ。