| English | 意味 |
|---|---|
| orbital period/ˈɔːbɪtl ˈpɪərɪəd/ | 軌道周期 |
終わりなき落下
- 月は常に地球へと落下しようとしているが、決して着地しない。
- 宇宙ステーションは90分ごとに地球を一周する。
- 重力は内向きに引くが、横方向の速度が常に地面を逸れるようにする。
- 一つの引力、一つの速度、そして完璧な無限の曲線。
重力は遠心力の源である
- 円軌道において、重力はちょうど向心力を提供する：
- 速度について解くと：$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$。
- 低い軌道は速く、高い軌道は遅い。
卫星がより低い円軌道へ移る。その公転速度は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$v = \sqrt{GM/r}$、したがってより小さな $r$ がより大きい $v$ を与える。
衛星を円軌道に留める遠心力は何によって提供されるか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$GMm/r^2 = mv^2/r$ -- 重力が遠心力となる。
$GM/r = 4.0\times10^7\ \text{m}^2/\text{s}^2$ (m/s) における公転速度を計算せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$v = \sqrt{4.0\times10^7} \approx 6325\ \text{m/s}$.
周期は半径とともに増大する
- 消去して整理すると、公転周期が得られる：
- 周期の二乗は半径の三乗に比例して増加します -- ケプラーの第三法則。
- 大きな軌道は周回するのにずっと時間がかかる。
大きな軌道にある衛星は、周期が長い。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$T^2 \propto r^3$、したがってより大きい $r$ がより大きい $T$ を意味する。
近付くほど速くなる
- 楕円軌道において、重力は$r$に沿って作用するため、トルクを生じない。
- トルクがないため、惑星の角運動量は保存される。
- 恒星に近づくことで加速し、等しい時間に等しい面積を掃く。
低軌道か高軌道か？
重力は衛星の遠心力となる。各事実を軌道高度で分類せよ。
楕円軌道では、惑星は最も速く動く...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
角運動量が保存されるため、より小さい $r$ はより大きな速度を意味する -- 最も近い地点で最速。
衛星は$GM/r = 5.0\times10^7\ \text{m}^2/\text{s}^2$の位置を公転する。
- 公転速度：$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{5.0\times10^7} \approx 7100\ \text{m/s}$。
- それは約 $7.1\ \text{km/s}$ である —— 低軌道に典型的な値である。
卫星自身の質量を倍増させると、同じ半径での公転速度が変わる。
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質量 $m$ は $GMm/r^2 = mv^2/r$ で相殺されるため、$v$ は $m$ に依存しない。
$r$ は惑星の中心から測り、地表からの高度ではないこと（惑星の半径を加える）。 速度の式は円軌道を仮定しており、楕円軌道では速度が変化する（最も近い点で最大）。 また、衛星自身の質量 $m$ は消滅するため、軌道速度や周期はそれに依存しない。
重力は円軌道の向心力であり、$v = \sqrt{GM/r}$（低いほど速い）と公転周期$T^2 = \tfrac{4\pi^2}{GM}r^3$（ケプラーの第三法則）を与える。重力はトルクを生じないため、惑星の角運動量は保存され、最も近い点で最速で動く。$r$は中心から測り、公転する質量は相殺される。