| English | 意味 |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | 関数 |
穴の埋め合わせ
- 除去可能な不連続とは、極限は存在するものの値が間違っている、あるいは欠けている穴のことです。
- 極限は正しい数値なので、その一点での関数を再定義して穴を埋めることができます。
- 点の値を極限に等しく設定すれば、曲線は滑らかに通り抜けます。
- これは連続性の修復です：除去可能なタイプの場合のみ可能です。
穴の奥にある曲線
y = x + 3
約分された関数$y=x+3$は直線であり、穴を埋めることは単にその直線が通る点をプロットするだけである。
未知定数の解き方
- 多くの場合、分段関数には未知の定数$k$があり、これを$k$として選んで連続にする必要があります。
- 手順は条件(3)です：極限と値を接合部で等しくします。
- 2つの区分を接合点で等しくして$k$について解きます。
- 1つの方程式、1つの未知数 — きれいな代数計算です。
区間関数を接合点で連続にするには、極限をその関数の ____ に設定する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
これは連続性の条件(3)である：極限 $=$ の値。
典型例のパターン
- 例として、$f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$が$x=2$で連続であるとします。
- 左側の極限：$2+k$。右側の値：$3(2)-1=5$。
- 連続性には$2+k=5$が必要なので、$k=3$となります。
- $k=3$であれば2つの区分は正確に接続し、ジャンプなく、連続的な関数になります。
$f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$が$x=2$で連続するように、$k$を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
点$2$で各部分の値を等しくする：$2+k=5\Rightarrow k=3$。
修復できないものを知る
- 修復できるのは除去可能な穴のみです。極限が既に存在している必要があります。
- ジャンプ（片側極限が等しくない）には実際の幅を持つ隙間があります。単一の再定義では閉じられません。
- 無限大の不連続は発散します。どのような値でも漸近線を制すことはできません。
- まず分類してください。両側極限が存在しない場合、その不連続は恒久的です。
どの不連続性が一点の再定義によって除去可能か。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
可除去型のみが両側極限との一致が可能であり、ジャンプや発散は修正できない。
$f(c)$ を再定義することで、それまで存在しなかった両側極限を生成できる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
単一の点の値は極限に影響しない。片側の極限が一致しない場合、再定義は何も変えない。
取り除けない不連続性をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
両側極限を持たないものは永続的であり、取り除ける穴のみが埋めることができる。
両側極限が既に存在する場合にのみ不連続を"除去"できます。左側と右側の極限が異なる場合、$f(c)$をどんな数に設定しても両側は一致せず、関数は引き続き不連続のままです。点を再定義しても、そこに存在しなかった極限が生まれることはありません。
$\dfrac{x^2-25}{x-5}$の$x=5$における穴（欠落）を取り除くため、極限に等しい値として$f(5)$を定義します。その値は何ですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
極限$=\lim_{x\to5}(x+5)=10$なので、$f(5)=10$。
$c$を求めて、$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$が$x=3$で連続になるようにします。
- 極限：$\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$。
- 連続性には$c=\lim_{x\to3}f(x)=6$が必要です。
- $c=6$を設ければ穴が埋まり、$f$は$3$で連続になります。
除去可能な不連続点 は、$f(c)$ を（存在する）極限と同じ値に再定義することで修復されます。関数分割（piecewise function） で未知の定数がある場合、接合部で各部分の値を等しくし（極限 $=$ の値）、方程式を解きます。ジャンプおよび無限不連続点には両側の極限がないため、除去することはできません。