| English | 意味 |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 不連続点 |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 除去可能な不連続点 |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | ジャンプ不連続点 |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 無限不連続点 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 垂直渐近線 |
グラフが「途切れる」場所
- 連続した曲線はペンを持ち上げずに描けます。不連続とは、その流れにある欠けのことです。
- すべての欠けが同じというわけではありません。それぞれ固有のグラフの特徴を持つ3つの異なる種類があります。
- 欠けの種類を名指すことで、修復可能かどうかを瞬時に判断できます。
- 3つすべてを紹介しましょう：除去可能な, ジャンプ, 無限です。
除去可能：単一の欠けた点
- 除去可能な不連続とは、滑らかな曲線上にあるただの穴です。
- 極限は存在します（両側が同一の高さで合致する）、しかし $f(c)$ は欠けているか、別の場所にプロットされています。
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ は $x=2$ に穴を持っており、極限は $4$ ですが、 $f(2)$ は未定義です。
- 極限が存在するため、「穴を埋める」ことができます。これが 除去可能 （ Peyou 1.13 ）と呼ばれる理由です。
At $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ has a limit of $6$ but $f(3)$ undefined. The discontinuity is...
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A limit exists but the value is missing — a hole, i.e. removable.
ジャンプ：両側が矛盾する
- ジャンプ不連続とは、左極限と右極限がどちらも有限であるが異なる場合に生じます。
- グラフが片方の高からもう片方へと跳ね上がります。階段や税率区分のようなイメージです。
- ここでは $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ は存在しません。片側極限が一致しないためです。
- 非ゼロの幅を持つ隙間を単一の点値で橋渡しすることはできないため、ジャンプは除去不可能です。
A curve that blows up
y = a / (x − b)
A reciprocal shoots to $\pm\infty$ near where its denominator hits zero — that is an infinite discontinuity and a vertical asymptote.
A jump discontinuity can be removed by redefining the function at the single point.
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The one-sided limits differ, so no single value bridges the gap — jumps are not removable.
A step function is $1$ for $x<0$ and $4$ for $x\ge0$. What is the size of the jump at $x=0$?
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Right minus left: $4-1=3$.
無限： $\pm\infty$ へ向かう
- 無限不連続とは、 $c$ 付近で関数が無制限に増減する場所です。
- グラフが垂直漸近線に沿って急上昇または急下降します。 $f(x)=\dfrac1{x-2}$ が $x=2$ のようなケースです。
- 極限は無限（または存在しない）なので、この欠けもまた除去不可能です。
- シグネチャ（特徴）：分母がゼロに向かう一方で、分子はそうではないこと。
An infinite discontinuity appears on a graph as a vertical ____.
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The function grows without bound along the vertical asymptote.
Which discontinuity type is the only one where the two-sided limit exists?
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Removable = a hole where both sides agree, so the limit exists.
Select all functions with an infinite discontinuity at the marked point.
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The third is removable (limit $=2$). The others blow up to $\pm\infty$.
真正の両側極限を持つのは除去可能のみです。ジャンプおよび無限不連続の場合、極限は存在しないため、単一点での巧妙な再定義によって関数を連続にすることはできません。ジャンプを「埋めよう」としないでください。隙間には実際の幅があります。
指定された点における各不連続性を分類せよ：
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ at $x=3$ : 極限 $=6$ 、値未定義 → 除去可能（穴）。
- $f(x)=\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\ge0\end{cases}$ at $x=0$ : 左側 $\to1$ 、右側 $\to2$ → ジャンプ。
- $\dfrac{1}{x^2}$ at $x=0$ : $+\infty$ へ増大 → 無限。
3つの不連続の種類：除去可能（穴 — 極限は存在するが $f(c)$ と一致しない）、ジャンプ（有限の片側極限が一致しない）、無限（ $c$ 付近で有界でない、垂直漸近線）。除去可能のみが両側極限を持つため、修復できるのも除去可能のみです。