| English | 意味 |
|---|---|
| limit laws/ˈlɪmɪt lɔːz/ | 極限の法則 |
| direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 直接代入 |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多項式 |
| rational/ˈræʃənl/ | 有理 |
| indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ | 不定型 |
極限は親和的な代数法に従う
- 2つの関数の極限が分かれば、通常の数字のようにそれらを組み合わせることができます。
- $f$ と $g$ がそれぞれ何を目指しても、それらの和はThose targets（目標値）の 和 を目指します。
- 差、積、および（慎重に）商についても同様に成り立ちます。
- これらは極限の法則であり、複雑な極限を単純な部分に分解することを可能にします。
極限の法則をまとめて
- $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ と $\displaystyle\lim_{x\to c} g(x)=M$ が成立する場合、then:（以下のように）
- 和/差： $\lim (f\pm g) = L\pm M$。
- 積： $\lim (f\cdot g) = L\cdot M$；定数倍： $\lim (k f)=kL$。
- 商： $\displaystyle\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{M}$、ただし$M\neq 0$である場合に限ります。
Given $\lim f = 6$ and $\lim g = 3$, find $\lim \dfrac{f}{g}$.
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Quotient law (denominator limit $3\neq0$): $\frac{6}{3}=2$.
The quotient law $\lim\frac fg=\frac LM$ requires that $M$, the denominator's limit, is not ____.
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If $M=0$ the law does not apply directly — you may have an indeterminate form.
直接代入：最短ルート
- 多項式または有理関数の場合、これらの法則は一つのShortcutに集約されます。つまり、$c$をそのまま代入するだけでよいのです。
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}(x^2-2x+1) = 3^2-2(3)+1 = 4$ — 表もグラフも不要です。
- 関数が$c$において定義され連続している限り、直接代入は有効です。
- これは試すべき最優先事項です。適用できれば最も迅速です。
A polynomial has no surprises
y = ax² + bx + c
Polynomials are smooth everywhere — drag the coefficients and see why plugging in $c$ (direct substitution) simply reads off the height.
Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2 - x + 4)$.
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Direct substitution: $3(4)-2+4 = 14$.
For which limits does direct substitution give the answer immediately?
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The third gives $\tfrac00$ (denominator limit $0$) so substitution stalls; the others give a finite value straight away.
代入が機能しない場合
- 代入すると$\dfrac{0}{0}$に遭遇することがあります：これは不定形です。
- 不定形であることは極限が失敗したことを意味するのではなく、代入だけでは判断できないため、追加の処理が必要であることを意味します（次回の授業で解説します）。
- 商の法則の詳細条件にご注意ください：$M\neq0$が必要です。分母の極限が$0$であれば、この法則は直接適用できません。
- つまり、まず代入を試してください。実数が得られれば完了です。$\tfrac00$が得られたら戦略を変えてください。
Direct substitution gives $\tfrac00$. This means...
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$\tfrac00$ is indeterminate: a cue to do algebra, not a final answer.
When you meet a new limit, direct substitution is the sensible first thing to try.
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It is fastest when it works; only switch strategies if it yields an indeterminate form.
$\dfrac{0}{0}$は「不定形」であり、「ゼロ」でも「未定義なので存在しない（DNE）」でもありません。極限が隠れており、まず簡略化を行う必要があるという合図です。$\tfrac00$を答えとして報告したり、極限が存在しないと結論付けたりしないでください。$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$は代入では$\tfrac00$ですが、実際には$4$に等しいのです。
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4}$を求めよ。
- 分子の極限：$2(1)^2+3 = 5$。分母の極限：$1+4 = 5$。
- 分母の極限が$5\neq 0$であるため、商の法則は適用できない。
- $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4} = \dfrac{5}{5} = 1$は直接代入によって求まる。
極限の法則により、極限を和、差、積、商に分割できます（商の場合、分母の極限がゼロでない必要があります）。多項式や有理関数については、これらは直接代入に集約されます。まずは必ず試してください。結果が$\tfrac00$の場合は不定形であり、答えではなく、簡略化を行うためのヒントです。