| English | 意味 |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 平均変化率 |
| slope/sləʊp/ | 傾き |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | 接線 |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | 接線 |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 瞬間変化率 |
| limit/ˈlɪmɪt/ | 極限 |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 導関数 |
速度：今すぐ
- 自動車のスピードメーターはある一瞬で $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ を示している。
- しかし、速度は「距離 ÷ 時間」であり、一瞬において時間は流れず、距離も進まない。
- では、ある一点での速度とはどのように定義されるのでしょうか？
- この質問に答えることが微分学の始まりである。
平均変化率
- 区間内での変化は簡単である：総変化量を経過時間で割るだけだ。
- これが関数の平均変化率である。
- グラフ上では、2点結ぶ直線の傾きであり、これを接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接線ではなく接线ではなく接線ではなく接線ではなく接线ではなく接线而不是接线而是secant line。
- 例：$x=1$ から $x=3$ までの平均変化率は $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$ である。
曲線上の二点間の接線の傾きは…を与える
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
接線は二点をつなぐので、その傾きは该区間における平均変化率である。
2点を近づける
- 第二点を第一点に progressively 近づけていきます。
- 接線が回転し、曲線に一点で 触れる ようになる。
- その触れる線が接線である。
第二点が第一点に向かって移動すると、接線は…に近づく。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
接線が回転して曲線にただ触れるまで — 接線に近づく。
瞬間変化率
- 接線の傾きが、その点における瞬間変化率である。
- それがスピードメーターの読みであり、正確な一瞬における変化率である。
- 位置-時間グラフにおいては、瞬間速度である。
平均変化率か瞬間変化率か？
各量が区間で測定されるか、一点でのみ測定されるかを判断せよ。
接線の傾きは ____ 変化率である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
接線は一点で曲線に触れるので、その傾きはそこで瞬間的な変化率である。
瞬間変化率を求めるために単一の点を代入することはできない——それは $\tfrac{0}{0}$ を与え、定義されない。区間が縮小するにつれて平均変化率が 接近する値 を見る必要がある。
平均変化率の式に一点を代入することで、瞬間変化率を求めることができる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それにより $\tfrac{0}{0}$ となり、これは定義されない。区間がゼロに縮小する際の極限を取る必要がある。
この"接近"とは極限である
- 私たちは実際にゼロで割りません；傾きが 接近する 値を問う。
- その値が極限であり、これが微分学の中心概念である。
- 区間がゼロに縮小する際の平均変化率の極限は導関数と呼ばれる。
- コースの最初の単元全体がこの概念を厳密にすることについてである。
導関数に関する真の記述を全て選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
導関数は、区間が縮小する際の平均変化率の極限であり、すなわち接線の傾き、つまり瞬間変化率である。
ボールの高さが $h(t) = 5t^2$ メートルである。$t=2$ s における速度を推定せよ。
- $t=2$ から $t=2.1$ までの平均変化率： $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ 。
- $t=2$ から $t=2.01$ まで： $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ 。
- その値は $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ に収束します — この極限こそが瞬間的な速度です。
ボールの高さは $h(t)=5t^2$ m である。$t=2$ s における瞬間速度を推定せよ（m/s）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
区間を縮小すると、平均変化率は $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ に近づき — その極限が瞬間速度である。
平均変化率 = 区間内の接線の傾き。区間をゼロに縮小すると、接線は接線に近づき、その傾きが瞬間変化率となる。この極限値が導関数である。