| English | 意味 |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 積の法則 |
積の法則が必要な理由
- 理屈には contradictory だが誤り：积の導関数は、導関数の积ではない。
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ と $f'g'=1\cdot1=1$ は異なる。両者は一致しない。
- 积には独自のツールが必要となる：積の法則である。
- これは両方の要素が同時に変化することを考慮している。
The derivative of $f\cdot g$ equals $f'\cdot g'$.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
It is $f'g+fg'$, not $f'g'$.
法則
- 2つの関数の积の場合：
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- 言葉で言えば：「第一の導関数×第二＋第一×第二の導関数」。
- 各項は1つの要素のみを微分し、もう一方はそのまま残す；そして加算する。
The Product Rule states $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Derivative of first times second, plus first times derivative of second.
清潔な worked pattern
- $y=x^2\,e^x$ を微分する。$f=x^2$ と $g=e^x$ を設定する。
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- 因数分解を求められた場合：$y'=x e^x(2+x)$ 。
A product's changing slope
y = ax² + bx
A product like $x^2 e^x$ has a slope that mixes both factors — the Product Rule captures both changing at once.
Differentiate $y=x^2 e^x$.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
For $y=x\sin x$, use the product rule to find $y'$ at $x=0$. (Recall $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$y'=\sin x+x\cos x$; at $0$: $0+0\cdot1=0$.
実際に必要な時
- 积が先に展開できる場合は、そうする — 方が簡単である可能性がある（$x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$）。
- しかし、要素が簡略化できない場合（$x^2\sin x$ や $e^x\ln x$ のような）、法則が必要となる。
- 各要素に対して、べきの法則や基本微分式と自由に組み合わせる。
- $f,f',g,g'$ にまずラベルをつける — 整理された計算はミスを防ぐ。
For $y=x^2\cdot x^3$, the smartest first move is to...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Simplifying to $x^5$ first is easier: $5x^4$. Use the Product Rule only when factors won't combine.
In each term of the Product Rule, which is true?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
One factor per term is differentiated; the two terms are summed. Differentiating both in one term is the classic error.
積の法則は $f'g+fg'$ であり、$f'g'$ ではない。両方の項が必要であり、それぞれが他方の要素を未微分のまま保持する。非常に一般的なミスは、同じ項内で両方の要素を微分してしまうことである —那样不应该这样做。項あたり正確に1つの要素のみを微分する。
関数 $y=(3x^2)(\sin x)$ を微分してください。
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- どちらの要素も簡略化できないため、積の法則が必要であった。
积の法則: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — 一度に1つの要素を微分して加算する。微分可能な関数の积が最初に簡略化できない場合に使用する。それは $f'g'$ ではなく; 各項は正確に1つの要素のみを微分する。