べき乗則を適用する

語彙

English	意味
power/ˈpaʊə/	べき
Power Rule/ˈpaʊə ruːl/	べきの法則
integer/ˈɪntɪdʒə/	整数

極限の代わりに使える簡易法則

定義からすべての導関数を計算するのは時間がかかります。パターンがあります。
$x$ のべき関数については、一つのルールですぐに解けます：べき乗則（Power Rule） です。
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
「指数を係数として下ろし、指数から1を引きます」。

探索

べき関数とその接線の傾き

y = x²

$y=x^2$に対してべき乗則を用いると傾きは$2x$となり、点を移動して接線の傾きが$2x$と一致するか確認します。

実際に使ってみる

$\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — $3$ が前に移り、指数は $3\to2$ になります。
$\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — $x$ の導関数は $1$ です。
$\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
極限定義と一致します（$\frac{d}{dx}[x^2]=2x$ を見つけました）、しかし1行で済みます。

実践

$\dfrac{d}{dx}[x^5]$ は何か？

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

$5x^4$
$x^4$
$5x^6$
$4x^5$

実践

$f(x)=x^4$ が与えられたとき、$f'(2)$ を求めよ。

難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

どんな指数にも適用されます

$n$ は正の整数だけでなく、負の指数や 有理数 （分数）の指数也可以是；
負の指数の場合： $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$ 。
有理数の指数の場合： $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$ 。
いつも同じルール： $n$ を下ろし、指数を1減らします。

実践

$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$ 。指数 $\square$ は ____ です。

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実践

べきの法則で、どの式を直接微分できますか？（変形後）

難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

$x^7$
$\dfrac{1}{x^4}$
$\sqrt[3]{x}$
$5^x$

まず変形してから微分する

根号と逆数は隠れたべき乗です — ルールを適用する前に、これらを $x^n$ の形に変換します。
$\sqrt{x}=x^{1/2}$ なので、$\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ 。
$\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ なので、$\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$ 。
各項を べき乗 に書き換えることが、重要な準備ステップです。

実践

変形して微分する：$\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$は以下のように表されます...

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$\dfrac{1}{2\sqrt x}$
$2\sqrt x$
$\sqrt x$
$\dfrac{1}{\sqrt x}$

実践

べきの法則は $2^x$ に適用され、 $x\cdot 2^{x-1}$ が得られます。

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Watch out

べき乗則は、定数指数を持つ変数底（$x^n$）に適用される。定数底・変数指数（$\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$）には適用できない。（こちらは指数関数であり、次回の授業で扱う。）また、指数を減らすことを忘れるな：$\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$であり、$-2x^{-2}$ではない。