平面変換、座標による推論と証明
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| rigid motion/ˈrɪdʒɪd ˈməʊʃn/ | 剛体変換 |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | 垂直二等分線 |
解答前に考えるべきこと
- 原点を中心に90度の回転は (x,y) を (-y,x) に変換する。符号を1つだけ変更するのは反射であり、その回転ではない。
- 目標：剛体運動と拡大を区別しながら座標を変換する。
関係性を読む
- 平行移動は各点に変位を加える；x軸について反射すると (x,y) は (x,-y) になる。原点を中心に 90°の反時計回りの回転では (x,y) が (-y,x) となる。これらの剛体運動は長さと角度を保存する。原点を中心としたk倍の拡大（kが正）では、座標と長さがk倍され、形状は保たれるが一般的にサイズが変わる。
- 幾何学的証拠として距離、中点、傾きを用いる。
Rotate (3,2) 90° counterclockwise about the origin.
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Apply (-y,x).
定義ルールを使う
- 2点間の距離は三平方の定理に従う：座標の差の二乗を足し合わせ、根号をとる。中点は各座標の平均である。傾きは垂直方向の変化と水平方向の変化を比較する；垂直でない直線が互いに垂直な場合、その傾きの積は -1 である。垂直線と水平線はゼロ除算を避けるため、別途扱う必要がある。
- 図の見た目ではなく、有効な合同条件や角度の関係を用いる。
Midpoint of (0,2) and (6,8):
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Average corresponding coordinates.
条件を確認する
- 幾何学的な論証は明示された条件や記号から始まる。対頂角は等しい；平行線は対応角と内側・外側の交互角の関係をもたらす。三角形の内角の和は 180°である。SSS、SAS、ASA/AASは適切な対応関係で合同を証明できるが、2つの角が等しいだけでは相似が言え、等しさ（合同）は言えない。
- 図の見た目ではなく、有効な合同条件や角度の関係を用いる。
点 (2,-1) を (3,4) だけ平行移動すると (5,3) となり、原点を中心に 90°回転させると (1,2) となる。(1,2) と (7,10) の間の距離は √(6²+8²)=10 であり、中点は (4,6) である。対応する辺の長さ 3,4,5 が等しい2つの三角形はSSS合同であり、角度が等しい三角形は相似であるが、拡大縮小により一致しない場合もある。
A line of slope 2 has a perpendicular nonvertical slope ____.
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The slopes multiply to -1.
タスク形式を適用する
- 作図の論証では定規を使って長さを移し、同じ半径の弧を描く。等距離の弧の交点は垂直二等分線を特定するために用いられ、スケッチからの推測の中点ではない。座標による証拠は証明を補強できるが、特定の1つの図形がすべての三角形に対する一般的な命題を成立させるわけではない。
- 図の見た目ではなく、有効な合同条件や角度の関係を用いる。
指定された中心と変換の順序に従う。視覚的に平行または直交しているペアを明示的な条件として用いてはならない。
このケースに当てはまる答えはどれか？
剛体変換と拡大を区別しながら座標変換を行う
Two equal triangle angles prove congruence.
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They establish similarity; lengths may differ.
区別を保つ
- 剛体運動 — 距離と角度を保存する変換。
- 垂直二等分線 — 線分の中点を通り、それと垂直な直線。
- 剛体運動と拡大を区別しながら座標を変換する。
- 幾何学的証拠として距離、中点、傾きを用いる。
- 図の見た目ではなく、有効な合同条件や角度の関係を用いる。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.