| English | 意味 |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | 放電 |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | 時間定数 |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数関数的減衰 |
決して終わらない減衰
- 放電するコンデンサーは、最初の時間定数で電荷の63%を失い、次の時間定数では残りの63%を失い、そのまま永遠に続きます。
- 5つの時間定数経過後、残り1%未満となるが、曲線はゼロには到達しない。到達できないのは、減衰率が常に残量の比例だからである。
- この振る舞いをするすべての物理量（放射性崩壊を含む）は同じ曲線を描くため、一度学習すれば二役立します。
- この章の要点は、放電の方程式、時間定数、そして曲線を直線に変える対数プロットである。
指数関数が生まれる場所
- スイッチを閉じると、コンデンサーの端子電圧が抵抗器を通じて電流を駆動します。キルヒホッフの第二法則により$V_C = V_R$となり、$V_C = Q/C$、$V_R = IR$、$I = -dQ/dt$を用いて:
- 減衰率は残存電荷に比例する。これが指数関数的減衰の定義的な性質であり、これが曲線が下がりながら平坦化していく理由である。
抵抗器を通じてコンデンサを放電している間、コンデンサの電荷について次のうち正しいものはどれか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
電荷が大きいほど電流も大きくなり、結果として指数関数的な減衰が生じる。
なぜコンデンサの放電は指数関数的なのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Q/C = -R dQ/dt はまさにこれを示している。この性質を持つすべての物理量（放射性崩壊を含む）は、同じ曲線を描く。
3つの方程式
- 電荷、電位差、電流はすべて、同一の時間定数を持って減衰する：
- 電流はスイッチを閉じた瞬間に最大となり、 $I_0 = V_0/R$ である。なぜなら、その瞬間に全初期電位差が抵抗器にかかるからである。電位差が下がるにつれて電流も下がる。
- 電流-時間のグラフの下の面積は流れた電荷量である。3つの曲線はすべて同じ形状を持つため、いずれか1つから $\tau$ を測定すれば、 $RC$ が得られる。
最初は急で、次第に緩やかになり、決してゼロにならない
電荷/放電曲線
電圧は時間定数 τ = RC で指数関数的に変化する（上昇または減衰）。
コンデンサの放電
Q = Q₀·bᵗ
電荷は抵抗器を通って指数関数的に減衰する。
放電中の電荷は次の式で表される：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
放電はゼロに向かって減少する：$Q = Q_0 e^{-t/RC}$（$1 - e^{-t/RC}$の形式は充電用である）。
時間定数
- 時間定数とは：
- その単位は秒である。オーム × ファラデ = 秒だからである。
- それは減衰量が初期値の $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ まで下がるまでの時間である。 $2\tau$ 経過後は約13.5%が残り、 $5\tau$ 経過後は1%未満が残る。
- 大きな $R$ または大きな $C$ は、大きな貯蔵量但是从狭い管を通過して空になるような、ゆっくりとした放電を意味する。
$500\ \mu\text{F}$ のコンデンサが$2000\ \Omega$ の抵抗器を通じて放電される。時間定数は幾らか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
1つの時間定数経過後、電荷は初期値の約____ %に低下する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
初期値の$\dfrac{1}{e} \approx 0.37$、すなわち約37%に低下する。
5つの時間定数経過後、残存電荷は1%未満となる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$e^{-5} \approx 0.0067$なので、1%未満が残る＝実質的に完全に放電されている。
24 Vまで充電されたコンデンサを5.6 kΩの抵抗器で放電させる。初期電流はいくらか？単位はmAで答えること。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
スイッチを閉じた瞬間、全電位差が抵抗器にかかるため、I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mAとなる。その後、電荷と同じ時間定数で減衰する。
演習例：完全な放電問題
- $470\ \mu\text{F}$ のコンデンサが $24\ \text{V}$ で充電され、$5.6\ \text{k}\Omega$ の抵抗器を通じて放電される。時間定数、初期電流、$4.0\ \text{s}$ 後の電位差、および電位差が $6.0\ \text{V}$ まで下がる時間を求めよ。
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$ および $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$ 。
- $4.0\ \text{s}$ 経過後： $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$ 。
- 時間については対数を取る： $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$ 。
- 計算中は $\tau$ を丸めずに保持し、最後にのみ丸める。また、 $\ln(V/V_0)$ は負の数であることに注意せよ。したがってマイナス符号によって $t$ は正の値となる：この変形は最も頻繁に問われ、かつ最も頻繁に失敗する点である。
1つの時間定数経過後、コンデンサには元の電荷の約37%が残っている。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
初期値の1/e（約37%）に低下する。2つ目では約13.5%、5つ目では1%未満となるが、厳密にゼロにはならない。
グラフから $\tau$ を読み取る
- $2200\ \mu\text{F}$ のコンデンサの電位差が $6.0\ \text{V}$ から $2.2\ \text{V}$ へ $4.5\ \text{s}$ 内で低下する。抵抗を求めよ。
- まず比を確認する： $2.2/6.0 = 0.367$ は $1/e$ に相当する。つまり $4.5\ \text{s}$ はまさに1つの時間定数である。
- さらに$R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$。
- 落下が $1/e$ でない場合は、$RC = -t/\ln(V/V_0)$ を使用します。どちらの場合でも答えは同じですが、$1/e$ に気づくことで手間を省けます。
時間定数が2.63 s、24 Vまで充電されたコンデンサがある。電位差が6.0 Vに低下するまでに要する時間は秒単位でいくらか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s。ln(0.25)は負の値であるため、マイナス符号によってtは正の値となる。この変形が最も誤解されやすい点である。
対数プロット
- $V = V_0 e^{-t/RC}$ の対数を取る：
- したがって、 $\ln V$ 対 $t$ のグラフは、傾きが $-1/RC$ で切片が $\ln V_0$ の直線となる。
- これは標準的な実験手法である。曲線を直線に変換することで、 $RC$ は単一の数値読取ではなく傾きから得られ、直線からの逸脱があれば減衰が指数関数的でないことを示す。
2200 μF のコンデンサの端子間電圧が6.0 V から2.2 V に4.5 s で減少した。抵抗を求める手順を正しい順序で並べ替えよ。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
減少比が1/eでない場合は、RC = -t/ln(V/V0)を使う。答えは同じだが、1/eを見極めることで計算ステップを省略できる。
見落としやすいポイント
- $\tau = RC$は時間であり、秒単位であり、分数ではない。1つの$\tau$経過後、その量は37%まで低下しており、63%消失して停止しているわけではない。
- 電流は開始時、すなわち全電位差が抵抗器にかかる時に最大であり、電荷と同じ時間定数で減衰する。
- 時間を求めるには、対数をとる： $t = -RC\ln(V/V_0)$ 。計算中、時間定数は丸めずに保持せよ。
- $\ln V$ 対 $t$ プロットにおいて、傾きは $-1/RC$ であるため、 $RC$ は傾きの逆数のマイナスである。
放電中のコンデンサにおけるln V対tのグラフは直線となる。その傾きはいくらか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
V = V0 exp(-t/RC) の両辺の自然対数を取ると ln V = ln V0 - t/RC となる。したがって、RCは傾きの逆数の負の値であり、直線であること自体が減衰が指数関数的であることを裏付けている。
理解できましたか
- 減衰率は残存電荷に比例するため、減衰は指数関数的である： $Q = Q_0e^{-t/RC}$ 。 $V$ と $I$ も同様に減衰する
- 電流は $I_0 = V_0/R$ で始まり、電流-時間グラフの下の面積が流れた電荷量である
- 時間定数 $\tau = RC$ は$1/e \approx 37\%$ に減少するまでの時間であり、$5\tau$ 後には1%未満が残る
- 対数を取って時刻 $t = -RC\ln(V/V_0)$ を求め、$\ln V$ を$t$ に対してプロットすると、傾きが $-1/RC$ の直線になる