対応するSLの焦点。最初の評価 2021；現在 through 2028。初回評価-2029コースは別です。残りのガイドライン、評価、実習要件は記録された保留条件を保持します。
前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。
これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。
5 · 微積分
国際バカロレア · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · SL · トピック 5
5.1
対象範囲と前提条件
5.2
微分と定常点
一点における傾きは何か？
- 湾曲した道路では、位置によって傾きが異なります。平均勾配では各点の傾きを説明できません。
- この授業では導関数を学びます：瞬間的な変化率、すなわち接線の傾きのことです。
数学的構造を選択する
- y=ax^n について、dy/dx=anx^(n-1) です。定常点は dy/dx=0 を満たします。符号の変化を確認するか、二階導関数がゼロでない場合はそれを使って分類してください。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
確認済みの例 explored を通す
$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
例：
y=x³-3x について、dy/dx=3x²-3 です。x=1 における傾きは 0 で、y=-2 です。二階導関数は 6x であり、x=1 で正であるため、これは局所最小点です。x=-1 において、y=2 で二階導関数は負であり、局所最大点となります。
誘惑的な shorthand をテストする
- 導関数がゼロだからといって、常に最大値または最小値であるとは限りません：y=x³ は 0 で定常点ですが、増加を続けます。制限された定義域において、端点も極値を生むことがあります。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
警告：
導関数がゼロである点は、必ず局所最大値または最小値である。この主張は誤りである。どの定義や前提条件に違反しているかを説明せよ。
新しい状況解釈する
- GCSE/IGCSEでは、レベルごとの多項式の範囲内に留め、その段階で合成関数の微分法（チェーンルール）、積の微分法、商の微分法を用いてはいけない。上級レベルでは、有効な定義域と関連付けて、導関数を速度や最適化問題に結びつけること。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
課程でこの手法を用いる
- 初回評価2021 応用と解釈 SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
重要：
瞬間変化率、すなわち接線の傾き。適切な関係式を選び、計算過程を示し、適用条件を検証して結果を解釈せよ。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 導関数 |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 反復 |
5.3
ルート探索と数値積分
近似の信頼性は高いですか？
- 非線形方程式には便利な厳密解が存在しない場合があります。近似値であっても、それが信頼できる根拠が必要です。
- この授業では**反復法（イテレーション）**を学びます。新しい近似値を前の近似値から計算し、繰り返し更新していく手法です。
数学的構造を選択する
- 連続関数が2つの端点で符号が異なる場合、その間に零点が存在する。ニュートン法は x次=x-f(x)/f'(x) を用い、導関数がゼロでない場合に適用される。台形則は端点の高さを用いて定積分を近似する。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
確認済みの例 explored を通す
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
例：
f(x)=x²-2 かつ x₀=1.5 のとき、ニュートン法により x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667 となる。y=x² が [0,2] で定義され、2つの等しい帯がある場合、h=1 であり、台形の面積=(1/2)(0+2×1+4)=3 となる。正確な面積は 8/3 である。
誘惑的な shorthand をテストする
- 不連続点をまたぐ符号の変化は零点の存在を保証しません。反復法が発散したり周期解になったりする可能性があります。台形則による過大評価・過小評価は、関数の単調性だけでなく曲率にも依存します。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
警告：
すべての符号の変化は零点を示しており、不連続点をまたぐものも含む。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
新しい状況解釈する
- 停止基準を提示し、適切な精度を報告してください。四捨五入した回答値の周囲に符号括弧があることで近似零点を確認し、選んだ反復法が失敗した理由を説明してください。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
課程でこの手法を用いる
- 初回評価2021 応用と解釈 SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
重要：
前の近似値を用いて次の近似値を計算し、これを繰り返す更新プロセス。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認して結果を解釈せよ。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。