5 · 微積分

このプリントには、2021 に初めて評価されるコースのためのHLトピックの一部が掲載されています。これはカリキュラム全体ではありません。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術および以下のモデル条件を使用すること。

これらの例は独自かつ架空のものであり、実際の測定値や実際の生徒による調査ではありません。

一点における傾きは何か？

• 湾曲した道路では、位置によって傾きが異なります。平均勾配では各点の傾きを説明できません。
• この授業では導関数を学びます：瞬間的な変化率、すなわち接線の傾きのことです。

手法

• y=ax^n のとき、dy/dx=anx^(n-1)。
• 定常点は dy/dx=0 を満たす。
• 導関数の符号の変化を確認するか、または二階導関数がゼロでない場合にそれを用いて分類する。

演習例

例：

y=x³-3x について、dy/dx=3x²-3 です。x=1 における傾きは 0 で、y=-2 です。二階導関数は 6x であり、x=1 で正であるため、これは局所最小点です。x=-1 において、y=2 で二階導関数は負であり、局所最大点となります。

誤りのポイント

• 導関数がゼロだからといって必ず最大値または最小値を意味するわけではない: y=x³ は 0 で定常点となるが、単調に増加し続ける。
• 境界点も制限された定義域において極値を生むことがある。

誤り： 導関数がゼロとなるすべての点は局所最大値または最小値である。導関数がゼロとなる点は転移点也可以是有的：y=x³ は x=0 において最大値でも最小値でもない。

応用

• GCSE/IGCSE では、_SPEC_によって許可される多項式の範囲のみを使用し、その場に合成関数・積の微分・商の微分の法則を追加してはならない。
• 上級レベルでは、有効な定義域において導関数を変化率や最適化問題と関連させる。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 導関数：瞬間的な変化率であり、接線の傾きでもある。
• y=ax^n のとき、dy/dx=anx^(n-1)。
• 注意：導関数がゼロであっても、必ずしも最大値または最小値を意味するわけではない：y=x³ は 0 で定常点であるが、増加し続ける。

10の導関数に基づいて書く

• y = x² - 2x について、x = 6 における微分係数を求める。
• 停留点を求める。微分係数が 0 であっても必ずしも転移点ではない。

近似の信頼性は高いですか？

• 非線形方程式には便利な厳密解が存在しない場合があります。近似値であっても、それが信頼できる根拠が必要です。
• この授業では**反復法（イテレーション）**を学びます。新しい近似値を前の近似値から計算し、繰り返し更新していく手法です。

手法

• 2つの端点で符号が異なる連続関数は、その間に零点を持つ。
• ニュートン法では、非ゼロの導関数を伴い、x_next = x − f(x)/f'(x) を用いる。
• 台形則は、端点の高さを用いて定積分を近似する。

演習例

例：

f(x)=x²-2 かつ x₀=1.5 のとき、ニュートン法により x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667 となる。y=x² が [0,2] で定義され、2つの等しい帯がある場合、h=1 であり、台形の面積=(1/2)(0+2×1+4)=3 となる。正確な面積は 8/3 である。

誤りのポイント

• 不連続点をまたぐ符号の変化は、零点の存在を示さない。
• 反復は発散したり、周期解になったりすることがある。
• 台形則による過大評価または過小評価は、単に関数が増加しているかどうかではなく、曲率によって決まる。

誤り： 符号の変化が必ずしも根の存在を示すわけではない。不連続点をまたぐ変化も含まれる。関数がその点で連続している場合に限り、符号の変化は根の存在を示す。1/x は x=0 を境に符号が変わるが、根は持たない。

応用

• 停止基準を与え、適切な精度を報告せよ。
• 指定された丸め値の周囲に符号の括弧があるか確認して近似根を検証し、選んだ反復の失敗について説明せよ。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 反復: 新しい近似値が前回の近似値から計算される繰り返しの更新。
• 2つの端点で符号が異なる連続関数は、その間に零点を持つ。
• 注意: 不連続点をまたぐ符号の変化は、零点の存在を示さない。

Newton法1.25から開始する

• x² - 1 について、x = 2 からニュートン法の1ステップを行う。
• 不連続点をまたぐ符号の変化は、零点の存在を示さない。

内部の式も変化しますか？

• 費用曲線は、変化する式べき乗として表される。外側のべき乗だけを微分すると、入力の変化率を見落としてしまう。
• この授業では**合成関数の微分法（チェーンルール）**を学ぶ：複合関数において、外側の導関数と内側の導関数を掛け合わせる法則である。

手法

• y=f(g(x)) のとき、y' = f'(g(x))g'(x)。
• uv の場合、u'v + uv' に微分する。
• u/v の場合、(u'v - uv')/v² を用い、ただし v≠0 。

演習例

例：

y=(3x+1)^4 のとき、y'=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3。x=0 における傾きは 12。x²+y²=25 を暗黙的に微分すると、2x+2y y'=0 となり、y≠0 のとき y'=-x/y となる。

誤りのポイント

• 積の導関数は、個々の導関数の積ではない。
• 暗微分において、y の関数を微分するたびに dy/dx が因子として付く。
• 商の分母は二乗される。

誤りである： u(x)v(x) の導関数は常に u' × v' ではない。積の法則は (uv)′=u′v+uv′ であり、x·x の導関数は 2x であり、1×1=1 ではない。

応用

• 微分する前に適切な形を選ぶ：短い多項式を展開した方が単純な場合がある。
• 関連する変化率については、関係式を記号で表し、時間を基準に微分した後に測定値を代入します。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 連鎖律: 合成関数において、外側の微分値と内側の微分値を掛け合わせる法則です。
• y=f(g(x)) のとき、y' = f'(g(x))g'(x)。
• 注意: 積の微分は、それぞれの微分の積とは限りません。

17 の積の微分から導く

• y = (3x + 2)(x + 1) について、x = 2 における微分係数を求める。
• 积の微分は微分の积ではない。

2つの因子を別々に積分できますか？

• xe^x のように見かけ上の単純な積も、各因数を別々に積分することで解くことはできません。
• このレッスンでは部分積分法を学びます：积の導関数に基づく積分法です。

手法

• 内側の微分項が因数として現れる場合に置換法を用いる。
• 部分積分法により、∫u v' = uv - ∫u' v。
• 有理関数の場合、必要に応じて割り算を行い、その後部分分数に分解する。

演習例

例：

∫xe^x dx については、u=x、v'=e^x とおくと、積分値は xe^x-e^x+C となります。∫2x/(x²+1) dx については、w=x²+1 とおき、dw=2x dx となるため、答えは ln(x²+1)+C となります。

誤りのポイント

• u と v' の選び方が重要である：残りの積分がより単純になるようにする。
• 定積分の置換では、 either 積分区間を変更するか、元の積分区間に適用する前に x に戻す。

誤り： 積の積分はそれぞれの積分の積に等しい。積には部分積分法や置換法などの手法が必要である：∫x·x dx=x³/3 であり、(x²/2)(x²/2) ではない。

応用

• 微分して確認する。
• x軸周りの回転体体積には V=π∫y² dx を用います。関数の二乗と関数の積分を混同しないでください。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 部分積分法：積の導関数に基づく積分の手法。
• 内側の微分項が因数として現れる場合に置換法を用いる。
• 注意：u と v' の選び方が重要である：残りの積分がより単純になるようにする。

20 の体積因子から導く

• 直線 y = 2 を x 軸のまわりで 0 から 5 まで回転させる。体積を π で割った値を求める。
• 積の積分は、積分の積ではない。

初期値は何かを決定しますか？

• 増加する人口の成長率は現在のサイズに比例します。成長方程式は初期人口が与えられるまで、一つの家族（一連の解）を記述しています。
• この授業では初期条件を学びます。ある解の族の中から特定の解を選択するための指定された値です。

手法

• dy/dx=ky に対して変数分離を行うと、dy/y=k dx となり、y=Ae^(kx) が得られる。
• 初期条件を用いて A を求める。
• エラー法では y_next=y+h f(x,y) を用い、適切なステップ h を選ぶ。

演習例

例：

dy/dx=0.5y かつ y(0)=2 のとき、y=2e^(0.5x)。Euler 法 h=0.2 を用いると、y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 および y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42。正確な2番目の値は約 2.4428。

誤りのポイント

• 初期条件は積分定数を決定するためのものであり、積分の代替ではない。
• y で割ると、平衡解 y=0 を見落とす可能性がある。
• Euler の精度はステップサイズと方程式に依存する。

正しくない： すべてのステップサイズが同じエラ近似を与えるわけではない。エラー法はステップサイズに依存し、通常、より小さいステップの方が精度が高い値を得る。

応用

• 2階線形微分方程式については、補関数に適切な特解を加え、必要な初期条件を適用する。
• これはFurther Pureの範囲であるため、指定された単元を確認すること。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 初期条件：特定の解を選別するための指定された値であり、解の族中的一个を選択するもの。
• dy/dx=ky に対して変数分離を行うと、dy/y=k dx となり、y=Ae^(kx) が得られる。
• 留意点：初期条件は積分定数を決定するためのものであり、積分の代替ではない。

6.6 の第1Euler値から導く

• y' = 0.5y に対して、初期値 y = 6 から刻み幅 0.2 でオイラー法を用いる。
• 最初の2つの近似値を求める。異なるstepサイズでは異なる近似値が得られる。

7.26 の第2Euler値から導く

• 計算をさらに1ステップ進める。
• 各ステップで 1.1 を掛け算する：6, 6.6, 7.26。

正確な値 7.33 から導く

• y prime = 0.5 y を厳密に解き、x = 0.4 で評価する。
• y = 6 e の 0.5 x は約 7.328 —— イエルの7.26は上方に湾曲する曲線を understates（過小評価）する。