4 · 統計学と確率

このプリントには、2021 に初めて評価されるコースのためのHLトピックの一部が掲載されています。これはカリキュラム全体ではありません。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術および以下のモデル条件を使用すること。

これらの例は独自かつ架空のものであり、実際の測定値や実際の生徒による調査ではありません。

一つの平均で全体が語れるか？

• 中央値は同じだが、ばらつきが異なる2つのグループがある。一つの要約値では、位置と一貫性の両方を説明できない。
• この授業では頻度密度: 周波数をクラス幅で割った値であり、ヒストグラムの高さとして用いられる。

手法

• 文脈において適切な平均値とばらつきの比較を行う。
• ヒストグラムでは面積が頻度を表すため、高さ＝頻度÷組幅となる。
• 集計推定は、区間内の代表値を仮定している。

演習例

例：

10から20までの組の頻度が30の場合、密度は30/10=3である。20から40までの組の頻度が20の場合、密度は20/20=1である。幅の広い棒が密度が高いと誤解してはいけない。値2,4,4,6,9について、中央値は4、平均値は5である。

誤りのポイント

• ヒストグラムの最も高い棒が必ずしも最多の観測値を含むとは限らない。
• 集計平均値は推定値である。
• 相関係数は因果関係を証明するものではなく、外挿は観測範囲を超えて延伸する。

誤り： ヒストグラムの棒の高さは、クラス幅が異なっても常にその頻度に等しいわけではない。クラス幅が異なる場合、高さは頻度密度であり、頻度は棒の面積である。

応用

• データタイプに適切な表示を選択する。
• 数値比較とそれが人口に対して何を意味するかを両方示し、サンプルが支える精度を超えて推測してはならない。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 周波数密度: 周波数を組幅で割ったもので、ヒストグラムの高さに用いられる。
• 文脈において適切な平均値とばらつきの比較を行う。
• 注意: 最も高いヒストグラムの棒が必ずしも最も多くの観測値を含むとは限らない。

9の平均値に基づいて書く

• 組幅が 2 の階級では頻度が 22 である。
• 値 5, 8, 8, 11, 13 には平均と中央値がある。棒グラフの高さが必ずしも頻度とは限らない。

最初の引取り後、何が変化するか？

• 袋の中に 3 枚赤玉、2 枚青玉がある。取り出し後に戻さない場合、2番目の色を選ぶ確率が変化する。
• この単元では条件付き確率を学ぶ：標本空間を特定の条件に制限した後の事象の確率である。

手法

• 木図の枝に沿って掛け、離散した枝を加算する。
• 戻し抽選の場合、構成は一定である。
• 条件付き確率は P(B の下での A)=P(AB)/P(B) であり、P(B)>0 のとき成立する。

演習例

例：

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

誤りのポイント

• 排反とは重なりがないことを指し、独立とはある事象を知っても他方の確率が変わらないことを指す。
• 正の確率を持つ2つの排反事象は独立ではない。

誤りである： 正の確率を持つ排反事象は必ず独立である。正の確率を持つ排反事象は従属であり、一方が起これば他方は起こらないため、P(AかつB)=0≠P(A)P(B)となる。

応用

• 二項表は制限された分母を明確にする。
• 積 P(A)P(B)を用いる前に、文脈や提供された情報から独立性を正当化する。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 条件付き確率：サンプル空間を特定の条件に限定した後の事象の確率。
• 木図の枝に沿って掛け、離散した枝を加算する。
• 注意：排反とは重なりがないこと、独立とはある事象を知っても他方の確率が変わらないことを指す。

0.72の条件付き確率に基づいて書く

• P(AかつB) は 0.36 、P(B) は 0.50 。
• P(A given B) を求める。互いに排反な事象は独立ではない。

カウントが予測可能になる要因とは何か？

• 品質検査官が不良品を数える。その数は不確定だが、モデルはそれらの範囲を記述できる。
• この単元では期待値を学ぶ：確率加重平均としての不確定変数のことである。

手法

• 二項分布モデルには、固定されたn、独立な試行、2つの結果、一定のpが必要である。
• E(X)=np、Var(X)=np(1-p)。
• 正規分布モデルでは z=(x-μ)/σ を用いる。
• ポアソンモデルは、一定のレートと適切な独立性の仮定に基づいて計数を記述する。

演習例

例：

X ~ binomial(5,0.2) のとき、P(X=0)=0.8^5=0.32768、E(X)=1、Var(X)=0.8。平均μ=100、標準偏差σ=15の正規分布において、値130のz値は2である。ポアソン分布の平均が時間あたり3であれば、2時間の間の平均は6となる。

*X ~ B(5, 0.2)：P(X = 1) ≈ 0.41 が最も高い棒であり、P(X = 5) は極めて小さい。

誤りのポイント

• すべてのカウントが二項分布であるわけではない：pの変更や依存関係はそれを無効にする可能性がある。
• 連続変数の場合、特定の1値の確率は0である。
• 離散分布を正規分布で近似する際、連続性補正が重要である。

誤りである： 依存関係に関わらず、すべての成功のカウントが二項分布を持つ。二項分布モデルには固定された確率を持つ独立な試行が必要であり、依存関係にある試行はこれを崩す。

応用

• 電卓の分布関数を使う前に、事象を不等式として表記する。
• P(X<k)、P(X≤k)、および右端の補集合を区別する。
• 文脈において仮定を明記する。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。

重要：

• 期待値: 確率で重み付けられた平均値を持つ変数の平均。
• 二項分布モデルには、固定されたn、独立な試行、2つの結果、一定のpが必要である。
• 注意: 全ての集計が二項分布とは限らない。pの変化や依存関係はそれを無効にする可能性がある。

5のzスコアに基づいて書く

• 平均が 85 、標準偏差が 3 の分布から、値 100 が得られる。
• z 点数を求める。二項分布の回数は独立した反復が必要である。

偶然が結果を説明できるでしょうか？

• ある工場は不良品の割合が10%にすぎないと主張しています。サンプルにはより多くの不良品が含まれていますが、その差の一部は偶然によって説明される可能性があります。
• この単元では有意水準について学びます：帰無仮説を棄却するための選定した確率の閾値です。

手法

• 結果を確認する前に、母集団パラメータでH₀とH₁を明示する。
• H₀の下での適切な片側確率を計算する。
• 指定された有意性基準に証拠が合致すればH₀を棄却し、そうでない場合は証拠不十分であると述べる。

演習例

例：

H₀: p=0.1 および H₁: p>0.1 において、n=10 のとき、欠陥が最少で3個観測される確率は 1-(0.9^10+10×0.1×0.9^9+45×0.1²×0.9^8)≈0.070191 である。5%有意水準では、欠陥率が10%を超えているとの十分証拠ではない。

誤りのポイント

• H₀を棄却できないことは、H₀が真であることを証明するものではない。
• 小さい結果を与える片側ではなく、H₁から対応する片側を選択する。
• 統計的有意性は、効果の実用的な大きさ衡量するものではない。

誤り: 帰無仮説を棄却できないことはそれが真であることを証明する。帰無仮説を棄却できないのは、それに対して十分な証拠がないことを意味するだけである。

応用

• 母集団と元の主張について文で結論をつける。
• モデルの前提条件を明記し、抽出手順がそれを支持しているか検討する。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 有意水準: 帰無仮説を棄却するための選定した確率の閾値。
• 結果を確認する前に、母集団パラメータでH₀とH₁を明示する。
• 注意: H₀を棄却できないことは、H₀が真であることを証明するものではない。

0.12のp値に基づいて書く

• 片側p値は 0.12 、有意水準は 5 %である。
• 帰無仮説を棄却するかどうかを決定する。棄却できないことは真であることを証明しない。

標本平均の不確実性はどの程度ですか？

• 2つの標本は異なる平均を持つ。一つの標本が母集団に等しいという約束ではなく、抽出不確かさに関する記述が必要である。
• この授業では信頼区間を学ぶ：母集団パラメータを所与の長期比率でカバーするように設計された手続によって計算される区間である。

手法

• 正規分布で σ が既知の場合、95% の区間は 標本平均 ± 1.96σ/√n です。
• 卡方検定では、(観測値-期待値)²/期待値の和を適切な自由度で求める。
• データと仮定に合う検定を選びます。

演習例

例：

平均=50, σ=10, n=100 において、標準誤差=1 であり、95% 信頼区間は [48.04,51.96] である。観測頻度が 30 と 20 で、期待頻度が 25 と 25 の場合、χ²=25/25+25/25=2 であり、自由度と棄却閾値を決定する前である。

誤りのポイント

• 95%信頼区間推定は、固定された母平均がこの1つの区間に含まれる確率が95%であることを意味しない。
• 期待頻度や推定パラメータは、カイ二乗検定の妥当性および自由度に影響します。

: 誤りです：相関係数が強いことだけでは因果関係を証明できません。相関は関連性を示すのみであり、第三変数や偶然で説明される可能性があります。したがって、因果関係を示すには実験或其他の証拠が必要です。

応用

• 文脈において不確実性を報告します。
• 回帰分析では、残差を確認し、根拠のない外挿を避け、適合された関係式と因果説明を区別します。
• S3 および IB AI HL は、異なる検証済み範囲の境界を必要とします。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 信頼区間: 母パラメータを所定の長期頻度でカバーするように設計された手法によって計算される区間。
• 正規分布で σ が既知の場合、95% の区間は 標本平均 ± 1.96σ/√n です。
• 注意：95% の信頼区間の算出過程は、固定された母平均がこの単一の区間に含まれる確率が 95% であることを意味しません。

6のχ²値に基づいて書く

• 観測頻度は 18 と 6 である。期待頻度は 12 と 12 である。
• カイ二乗統計量を求める。強い相関が因果関係を証明するわけではない。