1 ・数と代数学

このプリントには、2021 に初めて評価されるコースのためのHLトピックの一部が掲載されています。これはカリキュラム全体ではありません。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術および以下のモデル条件を使用すること。

これらの例は独自かつ架空のものであり、実際の測定値や実際の生徒による調査ではありません。

余りなく詰めることはできるか

• 供給業者は72本の鉛筆と90本のペンを同じギフトバッグに入れる。端材を出さないにはどうすればよいか。
• この授業では素因数を学ぶ：整数を割り切れる素数のこと。

手法

• 素因数分解は共通構造を明らかにする。
• HCF（最大公約数）には最小の共通素因数の累乗を、LCM（最小公倍数）には最大の素因数の累乗を用いる。
• 計算前に概算を行い、演算順序を維持するために括弧を使う。

演習例

例：

72=2^3×3^2 および 90=2×3^2×5。それらのHCFは 2×9=18 である。18個の袋を作成し、各袋に4本の鉛筆と5本のペンを詰める。それらのLCMは 2^3×3^2×5=360 である。

誤りのポイント

• HCF は両方の数を割り切ります；LCM は両方の数の倍数です。
• これらは異なる質問に対する答えである。
• 小数の概算は正確な分数ではない。

誤りです: 正の整数2つの最大公約数は、そのいずれかより常に大きいとは限りません。最大公約数は両方の数を割り切るため、小さい方より大きくなることはありません。例えば、72 と 90 の最大公約数は 18 です。

応用

• 電卓不使用の試験では、分数を正確に保ち、約分の手順を示す。
• 電卓使用の試験では、式全体を入力し、概算と比較する。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。

重要：

• 素因数: 整数を割り切る素数。
• 素因数分解は共通構造を明らかにする。
• 注意: HCFは両方の数を割ります; LCMは両方の数の倍数です。

最大公約数 4 から書き起こす

• 20 と 28 の最大公約数と最小公倍数を求める。
• 最大公因数は両方の整数より小さい。

元の価格を取り戻せるか？

• コートが 20% 引きで ¥240 になります。割引は販売価格ではなく、元の価格に適用されます。
• この授業では乗数を学びます。単一の乗算で百分率の変化を行う因数です。

手法

• p% の増加では倍率が 1+p/100 となる。減少では倍率が 1-p/100 となる。
• パーセンテージを逆算するには、倍率で割る。
• 比率では、まず部分の総数を求める。

演習例

例：

元の価格を P とします。モデルは 販売価格=0.8P です。したがって P=240/0.8=300 です。その後の 20% の増減により 240×1.2=288 となり、二つの変動は相殺されません。

誤りのポイント

• パーセンテージは明示された基準を使用します。
• パーセンテージを引くと、その基準が失われます。
• 複合変化の場合、乗数掛け算を行い、パーセンテージの加算を行わないでください。

誤りです： 20%の減少に続き20%の増加では、開始価格に戻りません。20%の増加はより少ない金額に対して行われるため：100×0.8×1.2=96であり、100ではありません。

応用

• 直接比例には y=kx を使用し、反比例には y=k/x を使用します。
• 新しい値を使う前に既知のペアから k を計算してください。
• 何を一定に保ったかを明記してください。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 乗数：一度の掛け算でパーセンテージ変化を行う因数です。
• p% の増加では倍率が 1+p/100 となる。減少では倍率が 1-p/100 となる。
• 注意：パーセンテージは明示された基準を使用します。

最終価格 396 から書く

• 価格 400 が 10 ％下落した後に、さらに 10 上昇する。
• 最終価格を求めよ。2つの変化は相殺されない。

その変化は加算か乗算か？

• 貯蓄計画では毎週¥30が追加され、人口モデルでは毎年5%増加します。等しい差分と等しい比には、異なるモデルが必要です。
• この授業では公比を学びます：幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。

手法

• 等差数列の場合、u_n=a+(n-1)d および S_n=n(2a+(n-1)d)/2 である。
• 等比数列の場合、u_n=ar^(n-1) および S_n=a(1-r^n)/(1-r) である。
• 無限等比級数の和が存在するのは |r|<1 の場合のみである。

演習例

例：

a=5, d=3, n=8 のとき、u_8=5+7×3=26 であり、S_8=8(10+21)/2=124 です。a=12, r=1/2 のとき、無限和 S=12/(1-1/2)=24 です。u_(n+1)=2u_n+1 で u_1=1 の場合、次の項は 3,7,15 です。

誤りのポイント

• 初項の添字が 1 であるため、指数は n-1 となる。
• 数列はリストであり、級数は和である。
• 等比数列は符号を変えながらでも収束することがある。

誤り: 全等比級数が有限の無限和を持つわけではない。無限和が存在するのは −1<r<1 の場合のみであり、r=2 のとき項は無制限に増加する。

応用

• 文脈が加法的変化还是乗法的変化还是正当化できるかを説明する。
• 金融の分野では、和の公式を選択する前に単発の預入と複数の預入を区別する。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 公比: 等比数列の連続する項間の定数倍
• 等差数列の場合、u_n=a+(n-1)d および S_n=n(2a+(n-1)d)/2 である。
• 注意: 初項の添え字は1であるため、指数は n-1となる。

6 番目の項 19 から書く

• 等差数列の初項は 9、公差は 2 です。
• 6 項を求める。無限等比級数が収束するには、公比の絶対値が 1 より小さい必要がある。

総和はどのタイムラインを表すか？

• 2回の同一金額の支払いは、早期に支払われる方ほど多くの利子を得ることがある。
• この授業では**預入（よこいれ）**を学びます：指定された時期に口座に加えられた金額です。

手法

• 指定された出来事の直後の残高を定義し、初期残高を示せ。
• 成長因子を r、期末入金 d とするとき、B₀=0 かつ B_n = rB_(n−1)+d。
• n回目の残高は d(1+r+…+r^(n−1)) = d(r^n−1)/(r−1)（r≠1）。
• r=1 の場合、B_n = nd を用いる。
• 期間数 n は非負整数である。

演習例

例：

例として、每期 5% の成長率と、各期末に 100 単位の預入を想定する。B₁=100、B₂=1.05×100+100=205、B₃=1.05×205+100=315.25 です。最初の預入は n−1 期間利息を得るのに対し、最終預入は B_n を測定する時点では利息を得ていません。したがって B_n=100(1.05^n−1)/0.05 となります。目標が少なくとも 500 である場合、B₄=431.0125<500 であり、B₅=552.563125≥500 なので、5 期で初めて十分です。残高は5回の預入合計 500 より 52.563125 単位多いです。同じ預入を各期初に行い、期末に残高を測定する場合、C_n=1.05(B_n) となるため、C₃=331.0125 となり、315.25 にはなりません。

誤りのポイント

• 最終の期末預入額に追加の利子期間を与えないこと。
• 残高には預入額と増加分の両方を含み、利子単体ではない。
• 正確な目標値と最低限度目標値では、異なる整数チェックが必要である。
• 年率をそのまま月単位の係数として使用することはできず、適切な換算が必要である。

誤り： 期初積立と期末積立は常に同じ最終残高を与える。期初積立は1期間分多くの利子が付くため、最終残高は大きくなる。

応用

• この例示は、固定の期単位利子率、均等な預入額、手数料や出金のなし、および明記された複利計算・支払い時期を前提としている。
• これらが変化する場合、再帰式を修正する: 期末預入・出金の場合、B_n = (1 + i_n)B_(n−1) + d_n − w_n。
• 増加分を特定するために、支払記録を別簿で保持する。
• 最初の目標値突破を主張する前に、隣接する期間の残高を比較すること。ここではすべての残高が非負であり、B_n − B_(n−1) = ⟨0.05B_(n−1) + ⟨100⟩ > ⟨0⟩ である。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 預入: 指定された時刻に口座に加える金額。
• 指定された出来事の直後の残高を定義し、初期残高を示せ。
• 注意: 最終の期末預入額に追加の利子期間を与えないこと。

基底ベクトルはどこへ向かいますか？

• 写像は一つの方向に伸縮し、別の方向にすべり変形させる。行列は各基底ベクトルの変換を記録する。
• この授業では行列式を学ぶ：正方行列が可逆かどうかを決定するスカラーであり、2次元においては符号付き面積倍率である。

手法

• 2×2 行列 [[a,b],[c,d]] の行列式は ad-bc であり、行列式がゼロでない場合、逆行列は [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) となる。
• 左からの乗算によって列ベクトルを変換する。
• 積において右側の行列が最初に作用する。

演習例

例：

A=[[2,1],[0,3]] のとき、det A=6。A(1,2)=(4,6)。その逆行列は [[1/2,-1/6],[0,1/3]]。特性方程式は (2-λ)(3-λ)=0 であり、固有値は 2 と 3 である。

誤りのポイント

• 行列の積は通常可換ではない。
• 行列式がゼロであることは、変換により次元が失われ、逆行列が存在しないことを意味する。
• 固有値と対角化は高度な範囲であり、通常の GCSE ベクトルの内容ではない。

誤りである： すべての正方行列に逆行列があるわけではない。行列式が 0 である正方行列は特異であり、逆行列を持たない。

応用

• (A-λI)v=0 を解き、v≠0 となる固有ベクトルを求める。
• 幾何学的意味を説明する：この変換においてベクトルの直線方向は保たれる。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 行列式：正方行列が逆行列を持つかどうかを判定するスカラー量であり、2次元においては符号付き面積倍率を表す。
• 2×2 行列 [[a,b],[c,d]] の行列式は ad-bc であり、行列式がゼロでない場合、逆行列は [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) となる。
• 注意：行列の積は通常可換ではない。

行列式 8 から書く

• 行列は行 (4, 1) と (0, 2) を持つ。
• その行列式を求めよ。行列式が 0 の正方行列は逆行列を持たない。

根が実数でない場合は？

• 方程式 x²+1=0 は実数解を持たない。数の系を拡張することで、両方の根を表し計算することが可能になる。
• この授業では共役複素数を学習します。虚部の符号を反転して得られる数のことです。

手法

• i²=-1 とおいて z=a+bi と表せ。
• 共役複素数は a-bi であり、z とその共役複素数の積は a²+b² となる。
• 絶対値は √(a²+b²) であり、偏角には正しい象限が必要である。
• 実係数を持つ多項式では、共役な解がペアで現れる。

演習例

例：

z=3+4i のとき、|z|=5 であり、zの共役复素数は3-4i である。逆数は (3-4i)/25 である。x²-6x+13=0 の解は 3±2i である。共役复素数との積をとることで、複素分母を実数にする。

誤りのポイント

• 和の平方根は平方根の和に等しくない。
• 逆正接関数だけでは正しい象限を返さないことがある。
• 絶対値と絶対値の二乗を混同しないこと。

誤り： a+bi の絶対値は常に a+b である。絶対値は √(a²+b²) であり、3+4i に対しては 5 となり、7 ではない。

応用

• 実軸を水平方向、虚軸を垂直方向に描く。
• 積の絶対値は積となり、偏角は和となります。デ・モワールの定理により、この幾何学的なパターンは冪で拡張されます。

学習内容

• 応用と解釈 HL。このコースは 2021 に初めて評価された。
• 全試験で計算機を使用可能だが、値を代入する前に式または方程式を書かなければ方法点を得られない。

重要：

• 共役複素数: 虚部符号を反転して得られる数。
• i²=-1 とおいて z=a+bi と表せ。
• 注意：和の平方根は平方根の和とは限りません。

絶対値 17 から書く

• 8 と 15 i の絶対値を求めよ。
• 絶対値は2つの部分の和ではない。

絶対値 5 から書く

• 3 と 4 i の和の絶対値を求める。
• 9 と 16 の平方根 = 5 — 再びピタゴラスの定理、複素平面上で。

積 25 から書く

• z = 3 と 4 i の積をその共役复数で乗算する。
• 積は 25 — z とその共役复数の積は必ず絶対値の二乗であり、実数である。