対応するSLの焦点。最初の評価 2021；現在 through 2028。初回評価-2029コースは別です。残りのガイドライン、評価、実習要件は記録された保留条件を保持します。
前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。
これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。
5 · 微積分
国際バカロレア · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL · トピック 5
5.1
対象範囲と前提条件
5.2
微分と定常点
一点における傾きは何か？
- 湾曲した道路では、位置によって傾きが異なります。平均勾配では各点の傾きを説明できません。
- この授業では導関数を学びます：瞬間的な変化率、すなわち接線の傾きのことです。
数学的構造を選択する
- y=ax^n について、dy/dx=anx^(n-1) です。定常点は dy/dx=0 を満たします。符号の変化を確認するか、二階導関数がゼロでない場合はそれを使って分類してください。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
確認済みの例 explored を通す
$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
例：
y=x³-3x について、dy/dx=3x²-3 です。x=1 における傾きは 0 で、y=-2 です。二階導関数は 6x であり、x=1 で正であるため、これは局所最小点です。x=-1 において、y=2 で二階導関数は負であり、局所最大点となります。
誘惑的な shorthand をテストする
- 導関数がゼロだからといって、常に最大値または最小値であるとは限りません：y=x³ は 0 で定常点ですが、増加を続けます。制限された定義域において、端点も極値を生むことがあります。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
警告：
導関数がゼロである点は、必ず局所最大値または最小値である。この主張は誤りである。どの定義や前提条件に違反しているかを説明せよ。
新しい状況解釈する
- GCSE/IGCSEでは、レベルごとの多項式の範囲内に留め、その段階で合成関数の微分法（チェーンルール）、積の微分法、商の微分法を用いてはいけない。上級レベルでは、有効な定義域と関連付けて、導関数を速度や最適化問題に結びつけること。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
課程でこの手法を用いる
- 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
重要：
瞬間変化率、すなわち接線の傾き。適切な関係式を選び、計算過程を示し、適用条件を検証して結果を解釈せよ。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 導関数 |
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 原関数 |
5.3
積分、面積と蓄積
どれだけ変化が蓄積したか？
- 速度-時間グラフから瞬時の運動状態がわかる。では、時間の経過とともに蓄積された変位をどう求めればよいか。
- この授業では原関数を学ぶ：与えられた被積分関数の導関数に等しい関数である。
数学的構造を選択する
- n≠-1 のとき、ax^n の不定積分は ax^(n+1)/(n+1)+C である。定積分は符号付きの蓄積量である。総面積や距離を求める場合は、符号が変わる点で区切って計算する。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
確認済みの例 explored を通す
$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
例：
v(t)=3t²-3 について、0≤t≤2 の区間における変位は [t³-3t]_0^2=2 です。v が t=1 で符号を変化するため、移動距離は -[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6 となります。定数項が相殺されるのは、終端値を代入する（定積分）場合に限られます。
誘惑的な shorthand をテストする
- 1/x の積分は n=-1 の累乗則ではなく ln|x|+C です。総被積領域の面積が正であっても、有向面積はゼロになり得ます。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
警告：
グラフが軸を横切っても、定積分は常に正の総面積に等しいという主張は誤りです。どの定義または前提条件に反するかを説明しなさい。
新しい状況解釈する
- 積分の意味を特定し、正しい単位を含める。秒あたりで測定された率は、他の率ではなく基盤となる quantity に積分される。反導関数を微分して確認せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
課程でこの手法を用いる
- 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
重要：
与えられた被積分関数の導関数に等しい関数です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈しなさい。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。