4 · 統計学と確率

このプリントは、初回評価が 2021 年であるコースの選抜されたSLトピックを扱っています。全カリキュラムではありません。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術および以下のモデル条件を使用すること。

これらの例は独自かつ架空のものであり、実際の測定値や実際の生徒による調査ではありません。

一つの平均で全体が語れるか？

• 中央値は同じだが、ばらつきが異なる2つのグループがある。一つの要約値では、位置と一貫性の両方を説明できない。
• この授業では頻度密度: 周波数をクラス幅で割った値であり、ヒストグラムの高さとして用いられる。

手法

• 文脈において適切な平均値とばらつきの比較を行う。
• ヒストグラムでは面積が頻度を表すため、高さ＝頻度÷組幅となる。
• 集計推定は、区間内の代表値を仮定している。

演習例

例：

10から20までの組の頻度が30の場合、密度は30/10=3である。20から40までの組の頻度が20の場合、密度は20/20=1である。幅の広い棒が密度が高いと誤解してはいけない。値2,4,4,6,9について、中央値は4、平均値は5である。

誤りのポイント

• ヒストグラムの最も高い棒が必ずしも最多の観測値を含むとは限らない。
• 集計平均値は推定値である。
• 相関係数は因果関係を証明するものではなく、外挿は観測範囲を超えて延伸する。

誤り： ヒストグラムの棒の高さは、クラス幅が異なっても常にその頻度に等しいわけではない。クラス幅が異なる場合、高さは頻度密度であり、頻度は棒の面積である。

応用

• データタイプに適切な表示を選択する。
• 数値比較とそれが人口に対して何を意味するかを両方示し、サンプルが支える精度を超えて推測してはならない。

学習内容

• 分析とアプローチ SLは、2021年に初めて評価されたコースである。
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 周波数密度: 周波数を組幅で割ったもので、ヒストグラムの高さに用いられる。
• 文脈において適切な平均値とばらつきの比較を行う。
• 注意: 最も高いヒストグラムの棒が必ずしも最も多くの観測値を含むとは限らない。

平均 6 から書き起こす

• クラスの頻度が 24 で組幅が 6 である。データ値 3, 5, 5, 8, 9 は別のリストである。
• 頻度密度と平均を求める。幅が異なる場合、ヒストグラムの高さは頻度密度である。

最初の引取り後、何が変化するか？

• 袋の中に 3 枚赤玉、2 枚青玉がある。取り出し後に戻さない場合、2番目の色を選ぶ確率が変化する。
• この単元では条件付き確率を学ぶ：標本空間を特定の条件に制限した後の事象の確率である。

手法

• 木図の枝に沿って掛け、離散した枝を加算する。
• 戻し抽選の場合、構成は一定である。
• 条件付き確率は P(B の下での A)=P(AB)/P(B) であり、P(B)>0 のとき成立する。

演習例

例：

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

誤りのポイント

• 排反とは重なりがないことを指し、独立とはある事象を知っても他方の確率が変わらないことを指す。
• 正の確率を持つ2つの排反事象は独立ではない。

誤りである： 正の確率を持つ排反事象は必ず独立である。正の確率を持つ排反事象は従属であり、一方が起これば他方は起こらないため、P(AかつB)=0≠P(A)P(B)となる。

応用

• 二項表は制限された分母を明確にする。
• 積 P(A)P(B)を用いる前に、文脈や提供された情報から独立性を正当化する。

学習内容

• 分析とアプローチ SLは、2021年に初めて評価されたコースである。
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 条件付き確率：サンプル空間を特定の条件に限定した後の事象の確率。
• 木図の枝に沿って掛け、離散した枝を加算する。
• 注意：排反とは重なりがないこと、独立とはある事象を知っても他方の確率が変わらないことを指す。

条件付き確率 0.30 から書き起こす

• A と B が同時に起こる確率は 0.18 で、B が起こる確率は 0.60 である。
• B が与えられたときの A の確率を求める。正の確率を持つ互いに排反な事象は独立ではない。

カウントが予測可能になる要因とは何か？

• 品質検査官が不良品を数える。その数は不確定だが、モデルはそれらの範囲を記述できる。
• この単元では期待値を学ぶ：確率加重平均としての不確定変数のことである。

手法

• 二項分布モデルには、固定されたn、独立な試行、2つの結果、一定のpが必要である。
• E(X)=np、Var(X)=np(1-p)。
• 正規分布モデルでは z=(x-μ)/σ を用いる。
• ポアソンモデルは、一定のレートと適切な独立性の仮定に基づいて計数を記述する。

演習例

例：

X ~ binomial(5,0.2) のとき、P(X=0)=0.8^5=0.32768、E(X)=1、Var(X)=0.8。平均μ=100、標準偏差σ=15の正規分布において、値130のz値は2である。ポアソン分布の平均が時間あたり3であれば、2時間の間の平均は6となる。

*X ~ B(5, 0.2)：P(X = 1) ≈ 0.41 が最も高い棒であり、P(X = 5) は極めて小さい。

誤りのポイント

• すべてのカウントが二項分布であるわけではない：pの変更や依存関係はそれを無効にする可能性がある。
• 連続変数の場合、特定の1値の確率は0である。
• 離散分布を正規分布で近似する際、連続性補正が重要である。

誤りである： 依存関係に関わらず、すべての成功のカウントが二項分布を持つ。二項分布モデルには固定された確率を持つ独立な試行が必要であり、依存関係にある試行はこれを崩す。

応用

• 電卓の分布関数を使う前に、事象を不等式として表記する。
• P(X<k)、P(X≤k)、および右端の補集合を区別する。
• 文脈において仮定を明記する。

学習内容

• 分析とアプローチ SLは、2021年に初めて評価されたコースである。

重要：

• 期待値: 確率で重み付けられた平均値を持つ変数の平均。
• 二項分布モデルには、固定されたn、独立な試行、2つの結果、一定のpが必要である。
• 注意: 全ての集計が二項分布とは限らない。pの変化や依存関係はそれを無効にする可能性がある。

zスコア 1.5 から書き起こす

• 値 95 は、平均 80、標準偏差 10 の分布から得られる。
• z 点数を求める。二項分布の回数は独立した反復が必要である。

期待値 5 から書き起こす

• 二項分布モデルは n = 20 回の試行で、p = 0.25 。
• 期待値は np = 5 — 確率重み付けであり、必ずしも保証されるわけではない。

zスコア 1 から書き起こす

• 値 62 は、平均 55 、標準偏差 7 の分布から得られる。
• zスコアは 7 ÷ 7 = 1 — 平均より1標準偏差上。